Vacuum stability in Geometric Trinity of Gravity

技术摘要：几何三位一体中的真空稳定性

问题陈述
电弱（EW）真空的稳定性是超越标准模型（BSM）物理的一个关键约束。正如在广义相对论（GR）框架下的 Coleman–De Luccia (CDL) 分析中所展示的那样，亚稳态（假）真空的衰变率对引力效应非常敏感。一个基本的理论问题围绕着“引力的几何三位一体”（Geometric Trinity of Gravity）展开，该理论假设 GR、挠率等效广义相对论（TEGR）和对称等效广义相对论（STEGR）在经典层面上是等价的引力描述。虽然这些理论具有相同的场方程和经典解，但目前尚不清楚这种等效性是否在量子层面也成立，特别是对于真空衰变过程。本文旨在解决的核心问题是：在 TEGR 和 STEGR 中计算出的假真空隧穿指数（以及由此产生的衰变率）是否与 GR 中的结果一致。

方法论
作者采用了半经典方法来研究真空衰变，利用了欧几里得路径积分形式。其方法论如下：

1. 理论框架： 本文回顾了在度规-仿射几何框架下，基于挠率的 TEGR 以及基于非度量性的 STEGR 的几何表述。文章确立了这些理论与 GR 的不同之处仅在于其拉格朗日量中的边界项，从而确保了经典的动力学等效性。
2. 欧几里得形式化： 为了计算衰变率，作者执行了维克转（Wick rotation）以进入欧几里得符号。他们构建了 TEGR 和 STERE 的欧几里得作用量，并嵌入了一个具有假真空（闵可夫斯基）和真真空（反德西特）势能 $V(\phi)$ 的标量场。
3. 对称性约束： 分析假设了一个 $O(4)$ 对称的弹跳（bounce）解。作者推导出了两种理论中最一般的 $O(4)$ 不变仿射联络：
   • 对于 STEGR，他们在球坐标系下推导出了对称、平坦且无挠的仿射联络，确定了满足遥测（teleparallel）约束所需的联络分量的特定函数形式。
   • 对于 TEFR，他们利用标架（tetrad）形式，构建了 $O(4)$ 不变的标架场以及相应的自旋联络（或利用 Weitzenböck 规范）来定义挠率张量。
4. 作用量评估： 隧穿指数 $B$ 被定义为作用量在弹跳解（$S_b$）与假真空解（$S_{fv}$）之差。由于 TEGR 和 STEGR 的作用量与爱因斯坦-希尔伯特作用量的差异仅在于边界项，作者明确计算了这些在弹跳配置和假真空配置下的边界贡献。
5. 渐近分析： 计算高度依赖于弹跳解（$\rho(r)$ 和 $\phi(r)$）在 $r \to 0$ 和 $r \to \infty$ 时的渐近行为。作者验证了边界项在原点处消失，并且在取弹跳作用量与假真空作用量之差时，在无穷远处相互抵消。

核心贡献

• 不变联络的推导： 本文提供了最一般的 $O(4)$ 不变、平坦且无挠（针对 STEGR）或度量相容（针对 TEGR）的仿射联络及标架场的显式推导。这是在这些替代几何中正确构建真空衰变问题的作用量的必要步骤。
• 显式边界项计算： 作者对将 STEGR 和 TEGR 作用量联系至 GR 作用量的边界项进行了严格评估。他们证明了在闵可夫斯基到 AdS 真空衰变的特定背景下，这些在一般作用量中非平凡的项产生的净贡献为零。
• 量子等效性的验证： 本工作将已知的几何三位一体的经典等效性扩展到了半经典量子隧穿领域。

结果
分析得出以下结果：

1. TEGR 和 STEGR 中的弹跳运动方程与 GR 中的方程完全相同，从而导致相同的弹跳解 $(\phi_b, \rho_b)$。
2. 当在弹跳解和假真空解上进行评估时，STEGR 和 TEGR 作用量中的边界项在 $r=0$ 处消失，并在 $r \to \infty$ 时相互抵消。
3. 因此，三种形式下的隧穿指数 $B$ 是恒等的：
   $$B_{GR} = B_{TEGR} = B_{STEGR}$$
4. 这意味着在 TEGR 或 STEGR 中计算的衰变率 $\Gamma$ 和真空寿命与在标准 GR 中计算的结果完全相同。例如，在引力存在下的电弱真空寿命仍为 $\tau_{grav} \sim 10^{661} T_U$，这与 GR 的预测保持一致。

意义与主张
本文声称，这一结果提供了一个非平凡的案例，证明了 GR、TEGR 和 STEGR 之间的经典等效性在量子（半经典）层面得以延续。具体而言，它表明不同的引力几何表示（曲率、挠率和非度量性）在极大对称背景下会产生相同的物理预测，即真空稳定性。

作者指出，虽然等效性适用于此处分析的闵可夫斯基到 AdS 衰变这一特定情况，但并不一定意味着对于所有量子现象或对于扩展理论（如 $f(R)$、$f(T)$ 或 $f(Q)$）也成立，因为在这些扩展理论中，边界项会变得非线性，从而导致经典等效性的丧失。文章结论认为，在标准框架内的真空稳定性分析中，“几何三位一体”依然保持稳健，为验证这些替代形式的一致性提供了一个敏感的测试场。