On uniqueness of solutions to stochastic Navier--Stokes equations

技术摘要：关于随机纳维-斯托克斯方程解的唯一性

问题陈述
本文探讨了随机纳维-斯托克斯方程（SNSE）解的唯一性以及对初始条件的连续依赖性问题。虽然 Leray 和 Hopf 的经典结果确立了确定性方程弱解的存在性，且已知二维情况下的唯一性，但三维确定性问题的弱解唯一性仍是一个开放问题。近期研究表明，在特定的三维确定性情形下存在非唯一性，这激发了对“条件唯一性”定理的研究。

作者将这一研究扩展到了随机设定，具体考虑由乘性维纳过程（Wiener processes）和补偿泊松随机测度（跳跃噪声，jump noise）同时驱动的方程。本研究重点是在任意 Lipschitz 区域内，在一个受限的解类（容许解，admissible solutions）中建立唯一性。

方法论
作者采用了基于 Gelfand 三元组（$V \hookrightarrow H \hookrightarrow V^*$）中随机演化方程理论的泛函分析方法。其核心方法论包括：

1. 噪声重构：作者利用一种技术（参考 [29]），将关于鞅测度（泊松噪声）的随机 Itô 积分改写为关于希尔伯特空间值鞅的随机积分。这使得由维纳噪声和泊isson 噪声共同驱动的系统可以被视为由一系列鞅驱动的统一系统。
2. 容许解与 Morrey 空间：引入了一种被称为“容许解”的新解类。这些解被分解为一个“Morrey 分量”（$u_M$）和一个“有界分量”（$u_B$）。Morrey 分量满足与 Morrey 空间（$L^{r, \lambda}$）相关的特定局部可积条件，而有界分量本质上是本质有界的。这种分解允许比经典的 Ladyzhenskaya-Prodi-Serrin (LPS) 条件更弱的假设。
3. 随机能量等式：一个关键的技术工具是针对 Banach 空间值半鞅的专门 Itô 公式。该公式经过调整，用以处理漂移项为 $V^*$ 值过程与 $H$ 值过程之和的情况，其中 $H$ 值部分在时间上仅是局部可积的。这对于推导两个解之差的能量估计至关重要。
4. 能量估计与 Gronwall 引理：通过对两个容许解之差（$w = u - v$）应用随机能量等式，作者推导出了微分不等式。这些估计依赖于解的 Morrey 分量的微小性以及扩散算子的强制性（coercivity）。

主要贡献与结果

• 噪声模型的泛化：本文将仅由维纳过程驱动的 SNSE（如 [32] 中所述）的条件唯一性结果，扩展到了由维纳过程和补偿泊松鞅测度共同驱动的方程。
• 向 Lipschitz 区域的扩展：结果在任意 Lipschitz 区域内建立，推广了以往通常局限于全空间 $\mathbb{R}^d$ 的研究工作。
• 更弱的唯一性条件：作者引入了一种基于 Morrey 型条件的“受限 Hopf-Leray 类”的唯一性判据。
  • 定理 2.2：确立了如果一个容许解 $u$ 满足其 Morrey 分量的微小性条件（$\hat{u} < \delta/N$），则该解在容许解类中是唯一的。此外，它证明了对初始数据的连续依赖性，从而在确定性情形下产生指数稳定性（定理 2.3）。
  • 推论 2.4：证明了经典的 Ladyzhenskaya-Prodi-Serrin 条件（$u \in L^q(0, T; L^p(\mathbb{R}^d))$ 且 $d/p + 2/q \leq 1$）蕴含了实现唯一性所需的容许性条件。因此，新结果将经典的 LPS 唯一性定理推广到了带有跳跃噪声的随机设定。
• H-解的存在性：定理 2.1 证明了任何容许解都存在一个 $H$-值 càdlàg 过程的修正版本（即“H-解”），确保了解在时间点上是良定义的。

意义与主张
本文声称为三维随机纳维-斯托克斯方程的条件唯一性研究做出了贡献，在这一领域，与二维情况或确定性存在性理论相比，已知研究相对较少。

作者指出，其主要结果（定理 2.2）建立了在一般 Lipschitz 区域上、由维纳噪声和泊松噪声共同驱动方程的条件唯一性。他们强调，其 Morrey 型条件严格弱于经典的 LPS 条件，从而扩大了可以保证唯一性的初始数据和力场的范围。该工作还提供了确定性情形下的稳定性结果（定理 2.3），展示了在所得微小性条件下解的指数收敛性。

本文并不声称解决了三维情形下任意弱解的全局唯一性问题，而是为在特定的、尽管是较弱的结构性正则性假设下，提供了一个严谨的唯一性框架。其结果被视为对先前确定性和随机性研究成果的推广，特别是将 [32] 的工作扩展到了包含跳跃噪声及更一般区域的情形。