On uniqueness of solutions to stochastic Navier--Stokes equations

Résumé Technique : Sur l'unicité des solutions aux équations de Navier-Stokes stochastiques

Énoncé du Problème
L'article traite du problème de l'unicité et de la dépendance continue par rapport aux conditions initiales des solutions aux équations de Navier-Stokes stochastiques (SNSE). Alors que les résultats classiques de Leray et Hopf établissent l'existence de solutions faibles pour les équations déterministes, et que l'unicité est connue pour le cas bidimensionnel, le problème déterministe tridimensionnel reste ouvert concernant l'unicité des solutions faibles. Des travaux récents ont démontré la non-unicité pour certains cas déterministes 3D spécifiques, motivant la recherche de théorèmes d'« unicité conditionnelle ».

Les auteurs étendent cette investigation au cadre stochastique, en considérant spécifiquement des équations pilotées simultanément par des processus de Wiener multiplicatifs et des mesures aléatoires de Poisson compensées (bruit de saut). L'étude se concentre sur l'établissement de l'unicité au sein d'une classe restreinte de solutions (solutions admissibles) sur des domaines Lipschitz arbitraires, allant au-delà de l'espace entier $\mathbb{R}^d$.

Méthodologie
Les auteurs emploient une approche analytique fonctionnelle fondée sur la théorie des équations d'évolution stochastiques dans des triples de Gelfand ($V \hookrightarrow H \hookrightarrow V^*$). La méthodologie centrale comprend :

1. Reformulation du Bruit : Les auteurs utilisent une technique (se référant à [29]) pour réécrire les intégrales d'Itô stochastiques par rapport à des mesures de martingale (bruit de Poisson) comme des intégrales stochastiques par rapport à des martingales à valeurs dans un espace de Hilbert. Cela permet de traiter le système piloté à la fois par le bruit de Wiener et le bruit de Poisson comme un système unifié piloté par une séquence de martingales.
2. Solutions Admissibles et Espaces de Morrey : Une nouvelle classe de solutions, nommée « solutions admissibles », est introduite. Ces solutions sont décomposées en une « composante de Morrey » ($u_M$) et une « composante bornée » ($u_B$). La composante de Morrey satisfait une condition d'intégrabilité locale spécifique liée aux espaces de Morrey ($L^{r, \lambda}$), tandis que la composante bornée est essentiellement bornée. Cette décomposition permet des hypothèses plus faibles que la condition classique de Ladyzhenskaya-Prodi-Serrin (LPS).
3. Égalité d'Énergie Stochastique : Un outil technique critique est une version spécialisée de la formule d'Itô pour les semi-martingales à valeurs dans des espaces de Banach. Cette formule est adaptée pour gérer des composantes de dérive qui sont des sommes de processus dans $V^*$ et $H$, où la partie dans $H$ n'est que localement intégrable dans le temps. Ceci est essentiel pour dériver les estimations d'énergie pour la différence de deux solutions.
4. Estimations d'Énergie et Lemme de Gronwall : En appliquant l'égalité d'énergie stochastique à la différence de deux solutions admissibles ($w = u - v$), les auteurs dérivent des inégalités différentielles. Ces estimations reposent sur la petitesse de la composante de Morrey de la solution et sur la coercivité de l'opérateur de diffusion.

Contributions Clés et Résultats

• Généralisation des Modèles de Bruit : L'article étend les résultats d'unicité conditionnelle des SNSE pilotées uniquement par des processus de Wiener (comme dans [32]) aux équations pilotées simultanément par des processus de Wiener et des mesures de martingale de Poisson compensées.
• Extension aux Domaines Lipschitz : Les résultats sont établis pour des domaines Lipschitz arbitraires, généralisant les travaux précédents qui étaient souvent restreints à l'espace entier $\mathbb{R}^d$.
• Conditions d'Unicité Plus Faibles : Les auteurs introduisent un critère d'unicité basé sur une « classe de Hopf-Leray restreinte » définie par des conditions de type Morrey.
  • Théorème 2.2 : Établit que si une solution admissible $u$ satisfait une condition de petitesse sur sa composante de Morrey ($\hat{u} < \delta/N$), alors la solution est unique au sein de la classe des solutions admissibles. De plus, il prouve la dépendance continue par rapport aux données initiales, produisant une stabilité exponentielle pour le cas déterministe (Théorème 2.3).
  • Corollaire 2.4 : Démontre que la condition classique de Ladyzhenskaya-Prodi-Serrin ($u \in L^q(0, T; L^p(\mathbb{R}^d))$ avec $d/p + 2/q \leq 1$) implique la condition d'admissibilité requise pour l'unicité. Ainsi, les nouveaux résultats généralisent les théorèmes d'unicité LPS classiques au cadre stochastique avec bruit de saut.
• Existence de Solutions H : Le Théorème 2.1 prouve que toute solution admissible admet une modification qui est un processus càdlàg à valeurs dans $H$ (une « solution H »), garantissant que la solution possède la régularité nécessaire pour être bien définie ponctuellement dans le temps.

Signification et Revendications
L'article affirme contribuer à la direction des résultats d'unicité conditionnelle pour les équations de Navier-Stokes stochastiques tridimensionnelles, un domaine où l'on en sait beaucoup moins que pour le cas bidimensionnel ou la théorie de l'existence déterministe.

Les auteurs affirment que leur résultat principal (Théorème 2.2) établit l'unicité conditionnelle pour les équations pilotées par les bruits de Wiener et de Poisson sur des domaines Lipschitz généraux. Ils soulignent que leur condition de type Morrey est strictement plus faible que la condition LPS classique, élargissant ainsi la portée des données initiales et des champs de force pour lesquels l'unicité peut être garantie. Le travail fournit également un résultat de stabilité (Théorème 2.3) pour le cas déterministe, montrant la convergence exponentielle des solutions sous les conditions de petitesse dérivées.

Le papier ne prétend pas résoudre le problème de l'unicité globale pour des solutions faibles arbitraires en 3D, mais propose plutôt un cadre rigoureux pour l'unicité sous des hypothèses de régularité spécifiques, bien que plus faibles. Les résultats sont présentés comme des généralisations de découvertes déterministes et stochastiques antérieures, étendant spécifiquement le travail de [32] pour inclure le bruit de saut et des domaines plus généraux.