Learning Stable Controlled Dynamical Systems via Input-Contraction Neural Differential Models

技术摘要：通过输入收缩神经微分模型学习稳定的受控动力系统

问题陈述
本文解决了数据驱动系统辨识中的一个关键局限性：现有的神经常微分方程（Neural ODEs）在对受时变控制输入影响的非自治系统进行建模时，无法保证结构稳定性。虽然 Neural ODEs 已成功参数化了自治向量场，但其向受控系统的扩展（如 Neural CDEs, ICODE）通常仅在启发式层面处理外部输入。因此，这些模型在面对通用的、非消失的输入序列时，缺乏严格的闭环稳定性保证。这种缺陷会导致误差累积、状态发散以及对外部扰动的极端敏感性，从而在长时程展开（long-horizon rollouts）过程中使其在机器人技术和工业控制等安全关键型应用中变得不可靠。

方法论：输入收缩神经微分模型 (ICNDM)
作者提出了输入收缩神经微分模型（ICNDM），该框架旨在学习受控动力系统的连续时间表示，同时确保增量指数收敛。该方法集成了三个核心组件：

1. 输入嵌入架构： 与标准的拼接方法不同，ICNDM 使用专门的神经输入编码器 $E_\phi(u)$ 将原始控制输入映射到潜空间。这实现了高频控制信号与状态向量直接代数耦合的解耦，从而在刚性 ODE 积分过程中稳定了梯度变化。
2. 联合神经度量优化： 该框架同时学习非自治神经向量场 $f_\theta(x, E_\phi(u))$ 和广义黎曼收缩度量 $M_\omega(x)$。为了确保度量保持一致的正定性，作者使用局部 Cholesky 分解（$M_\omega(x) = L_\omega(x)L_\omega(x)^T + \epsilon I$）实施了结构约束。
3. 正则化目标函数： 训练目标结合了标准的轨迹预测损失和两个结构正则项：
   • 一个软谱屏障惩罚（$L_c$），用于强制执行收缩条件 $\Psi(x, u) \preceq -\beta M_\omega(x)$，其中 $\Psi$ 是涉及状态雅可比矩阵和度量时间导数的广义非自治收缩矩阵。
   • 一个针对输入雅可比矩阵的 Frobenius 范数正则项（$L_u$），用以限制向量场对高频输入变化的敏感性。

理论贡献
本文为所提出的架构提供了正式的理论保证：

• 增量指数收敛： 在假设谱收缩损失被最小化的前提下，作者证明了由相同输入序列驱动的任何两条轨迹都会呈指数收敛，其误差界限随 $e^{-\beta t/2}$ 衰减。
• 输入到状态收缩 (ISC)： 作者推导了在有界外部扰动下实现输入到状态收缩的充分条件。他们确立了由不同输入驱动的轨迹之间的跟踪偏差是全局有界的，其界限取决于输入差异和系统的 Lipschitz 常数，从而确保了对输入扰动的鲁棒性。

实验结果
ICNDM 的性能在两个领域内与五种最先进的基准模型（Standard Neural ODE, Controlled Neural ODE, ICODE, ControlSynth, 以及 Differential Neural Networks）进行了对比评估：

1. 非线性混沌基准测试： 在由多频正弦输入驱动的 Duffing 和 Van der Pol 振荡器测试中，ICNDM 在长时程预测方面显著优于基准模型。虽然标准模型表现出显著的误差累积（例如，Standard NODE 在 Duffing 振荡器上 200 步后的 MSE 上升至 $1.89 \times 10^{-1}$），但 ICNDM 保持了稳定的界限（MSE 为 $1.02 \times 10^{-3}$）。
2. 物理 PMSM 驱动系统： 在永磁同步电机（PMSM）数据集上的验证确认了该模型的实际应用价值。在 500 步的交轴电流展开中，无约束模型偏离真实动力学显著，而 ICNDM 则能精确跟踪真实动力学。
3. 噪声鲁棒性： 在向输入通道注入高斯噪声的实验中，ICNDM 随着噪声水平的增加表现出平滑的性能退化，而基准模型则会出现快速的误差增长。这种行为从经验上验证了其理论上的“输入到状态收缩”特性。

意义与主张
本文声称弥合了输入感知建模与结构稳定性属性之间的鸿隙。通过显式建模随时间变化的控制动作，并通过联合度量优化保证输入到状态收缩，ICNDM 为不受约束的神经微分方程中固有的不稳定性提供了解决方案。作者断言，该框架为高度非线性的受控系统提供了严格的渐近保证，而这种能力此前仅限于自治形式或假设输入恒定的系统。这项工作将 ICNDM 定位为动态环境下系统辨识的鲁棒工具，在减少长时程漂移和增强对输入扰动的韧性方面展现出了卓越的性能。