Understanding Small-Signal Impedance Matrices in Different Reference Frames

技术摘要：理解不同参考坐标系下的小信号阻抗矩阵

问题陈述
随时间变化的变换（如 Park 变换）的应用已从电机理论扩展到电压源换流器（VSC）系统的稳定性分析领域。虽然基于系统阻抗表征的频域方法被广泛使用，但文献中对于 $dq$域、$\alpha\beta$域与序数域表示之间的关系存在不一致之处。具体而言，对于序数域坐标系的符号表示（例如$dq$-复数型与$pn$-旋转型）缺乏共识，且多项研究在尝试进行静止参考系与旋转参考系之间的阻抗矩阵变换时，未能解决非对称系统所带来的物理限制问题。本文旨在解决这些符号歧义以及小信号阻抗建模中坐标变换的物理有效性问题。

方法论
本文采用系统的数学分析来映射 VSC 建模中各种参考坐标系之间的关系。其方法论包括：

1. 变换回顾： 重新审视归一化 Park（$dq$-实数型）和 Ku（$dq$-复数型）变换，以建立$abc$、$ \alpha\beta$-实数型、$dq$-实数型、$\alpha\beta$-复数型和$dq$-复数型域之间的数学联系。
2. 域映射： 推导实数域与复数域之间的特定关系，包括阻抗矩阵（$Z$）和导纳矩阵（$Y$）在这些坐标系之间的转换。
3. 频域分析： 通过将拉普拉斯算子 $s$ 替换为 $j\omega$，将拉普拉斯域变量连接到正序和负序分量（$p$ 和 $n$）。这区分了静止坐标系（使用交流频率 $\omega_{AC}$）与旋转坐标系（使用直流频率 $\omega_{DC} = \omega_{AC} - \omega_1$）。
4. 对称性分析： 研究在何种条件下，静止参考系与旋转参考系之间的变换在物理上是有效的，特别关注阻抗/导纳矩阵的对称性质。
5. 对比评估： 对比“改进型序数域阻抗”（MSDI）与“通用阻抗模型”（UIM），以确定它们的等效性及其所属的参考坐标系。

主要贡献
本文提供了五项主要贡献：

1. 综合变换图： 提供了一个统一的图表（图 1），展示了不同参考坐标系之间的变换，并明确区分了两种不同的 $pn$坐标系：静止$pn$坐标系与旋转$pn$ 坐标系。
2. 变换极限的物理依据： 证明了只有当阻抗或导纳矩阵是对称时，静止参考系与旋转参考系之间的变换才具有物理意义。对于非对称系统，此类变换是无效的，因为它们未能考虑到固有的频率耦合。
3. 等效性证明： 通过数学证明，确立了改进型序数域阻抗（MS MSDI）与通用阻抗模型（UIM）在频域是等效的，且两者都是在旋转参考系下构建的，尽管部分文献声称 UIM 是静止坐标系模型。
4. 频率耦合的物理阐释： 解释了在非对称系统中，旋转坐标系中频率耦合是如何产生的，即导致了不同角频率下的电压与电流耦合。
5. 标准化符号框架： 提出了一套用于拉普拉斯域和频域序数域分析的标准化符号框架，以解决现有文献中的不一致问题。

结果

• 坐标系等效性与极限： 分析证实，虽然对称系统允许在静止和旋转坐标系中进行等效表示，但非对称系统则不然。在非对称情况下，旋转坐标系本质上会引入正序与负序在不同频率下的耦合（镜像频率效应），而这种效应无法通过简单的向静止坐标系的变换来捕捉。
• 模型等效性： 被称为“通用阻抗模型”的模型（常被视为静止坐标系模型）被证明在数学上与改进型序数域阻抗是等效的，其区别仅在于所使用的频率变量（$\omega_{AC}$ 与 $\omega_{DC}$）。
• 对称性条件： 本文定义了各领域的特定对称条件。例如，在 $dq$-复数型坐标系中，对称要求$Z_{-dq}(s) = 0$。在$pn$-旋转坐标系中，这对应于$Z^r_{pn} = Z^r_{np} = 0$。
• 符号修正： 本研究识别并纠正了现有文献中的若干符号错误，特别是关于频率偏移（$s \to s \pm j\omega_1$）的处理以及序数域导纳矩阵的定义。

意义
本文澄清了关于电力电子变换器小信号阻抗模型物理含义的关键误解。通过阐明坐标系变换并不普遍适用于非对称系统，本研究防止了在稳定性分析中因错误应用此类变换而导致的潜在错误。此外，通过统一符号并证明主要建模方法（MSDI 与 UIM）的等效性，本文为未来的 VSC 稳定性研究提供了严谨的基础，确保研究人员在分析换流器动态时能够正确区分静止参考系与旋转参考系。