技术摘要：基于投影残差的 Koopman 学习控制输入-状态稳定性认证

1. 问题陈述

本文研究了针对未知离散时间非线性重复系统在有限试验时界（trial horizons）下，数据驱动 Koopman 学习控制的稳定性认证问题。不同于通常寻求零误差收敛或名义单调收敛的经典迭代学习控制（ILC），本研究关注沿学习-试验轴（$k$）的实际输入-状态稳定性（Practical Input-to-State Stability, ISS）。

本文识别出的核心挑战在于，在数据驱动的设定下，较小的预测残差（模型拟合误差）并不能保证稳定性。稳定性取决于：

1. 通道信息量（Channel Informativeness）： 所选的有限时界输入-输出通道必须具有正裕度（可逆性），以生成请求的输出修正。
2. 可达性（Reachability）： 请求的输出增量必须位于所学通道的约束可达集内。如果不在其中，则会产生投影残差（Projection Residual），其作用类似于持续存在的扰动。
3. 持续扰动（Persistent Perturbations）： 重置失配、非重复性扰动、通道识别误差、部署偏移以及数值容差等因素在不同试验之间不会消失。

目标是构建一个确定性证书，将学习误差从初始状态界定到一个显式的最终带状区域（Ultimate Band），并将 Koopman 残差、投影误差和不确定性视为 ISS 输入。

2. 方法论

系统建模

系统被建模为一个非线性重复任务，其中状态 $x_k(t)$、输入 $u_k(t)$ 和输出 $y_k(t)$ 在单次试验时界 $t \in \{0, \dots, N-1\}$ 和试验索引 $k$ 上演化。控制器使用通过扩展动态模式分解控制（EDMDc）学习到的冻结 Koopman 算符近似值，进行逐试验的输入更新。

学习动力学被表述为在试验轴上的离散时间系统：
$$\bar{E}_k = \Lambda \bar{E}_{k-1} + r_k$$
其中 $\bar{E}_k$ 是选定的堆叠跟踪误差，$\Lambda$ 是满足 $\|\Lambda\|_\infty < 1$ 的学习矩阵，$r_k$ 聚合了所有扰动源。

证书的关键组成部分

作者将扰动项 $r_k$（即 ISS 输入）分解为特定的、可审计的组成部分：

1. Koopman 残差 ($\omega_k$)： 模型失配和非重复性扰动。
2. 投影残差 ($p_k$)： 请求的输出增量与所学通道约束可达集之间的距离。这是一种结构性限制，而非仅仅是数值误差。
3. 通道不确定性 ($\Delta G_k \Delta U_k$)： 学习到的有限时界通道矩阵的误差。
4. 重置/可观测性扰动 ($\Delta O_k \Delta z_{k,0}$)： 初始条件和可观测性的失配。
5. 部署偏移与数值容差： 校准分布与部署分布之间的差异，以及求解器误差。

认证协议

论文提出了一种具备拒绝能力的认证程序（算法 1），用于在部署前验证候选控制器：

1. 模型拟合： 从识别数据中学习 Koopman 矩阵。
2. 裕度验证： 检查所选通道是否具有正的最小奇异值裕度（$\sigma_{\min} - \epsilon > 0$）。若不满足，则拒绝该候选控制器（弱通道不可认证性）。
3. 投影审计： 在认证的请求集上计算最坏情况下的投影预算。
4. 不变性检查： 验证收缩条件 $\lambda R + P(R, \bar{Z}_0) + \bar{\xi} \leq R$ 是否成立，以确保误差保持在认证的球体内。
5. 有限样本校准： 使用分块共形预测（Split-conformal Prediction）在校准数据集上对完整回合的残差得分进行建模，以指定风险水平进行界定。

理论结果

• 定理 1（确定性实际 ISS）： 确立了如果通道裕度为正且扰动有界，则学习误差将几何级数地收敛至一个最终带状区域 $\Delta_{ISS} = \bar{w} / (1-\lambda)$，其中 $\bar{w}$ 是聚合扰动预算。
• 定理 2（有限样本 ISS 预算）： 通过结合共形残差得分与通道不确定性、投影残差及部署偏移的确定性界限，提供了一个关于 $\bar{w}$ 的概率界限。

3. 核心贡献

1. 实际 ISS 公式化： 本文将 Koopman 学习控制的稳定性公式化为沿试验轴的实际 ISS 问题，明确区分了模型拟合与学习可认证性。
2. 投影残差作为稳定性对象： 论文将投影残差和选定通道裕度识别为必要的证书对象。它证明了即使预测残差很小，如果通道较弱或请求不可达，预测器仍可能导致稳定性失效。
3. 可计算的证书预算： 作者提供了一种方法，通过结合以下各项来构建显式的最终带状区域：
   • 完整回合残差校准（通过分块共形方法）。
   • 有限时界通道与重置裕度。
   • 投影残差。
   • 实现裕度（偏移、数值）。
4. 审计框架： 开发了一个数值审计框架，用于验证理论的每个组成部分（残差到带状区域的缩放、弱通道拒绝、投影闭合以及最终带状区域覆盖率），而非仅仅比较跟踪性能。

4. 数值结果与验证

论文在四个非线性重复系统上验证了理论：Duffing 振荡器（闭环及预算审计）、三次阻尼振荡器以及非线性伺服系统。

• 残差-带状区域缩放： 实验证实，增加扰动、噪声或模型失配会线性增加认证的最终带状区域，这与 ISS 增益 $\gamma(s) = s/(1-\lambda)$ 一致。
• 弱通道拒绝： 对于“弱”选定通道（低奇异值）的情况，即使其预测残差很小，证书也能正确将其拒绝。这突显了仅靠预测精度是不够的。
• 投影闭合： 审计验证了请求的输出修正保持在受限的可达集内。
• 最终带状区域覆盖： 在成功的试验中，观察到的跟踪误差在经过认证的有限进入指数后，进入并保持在理论预测的最终带状区域内。
• 消融研究： 论文表明，“名义”控制器（零残差预算）无法通过认证，而相同的控制器在包含校准后的残差预算时即可实现可认证性。反之，过度保守地扩大预算会扩大最终带状区域，从而维持覆盖率。

5. 意义与主张

本文声称提供了一种针对 Koopman 学习控制的实用、数据驱动的稳定性证书，这与传统的收敛性分析截然不同。

• 关注点分离： 它严格区分了模型拟合（预测残差）与控制可认证性（通道裕度与可达性）。一个优秀的预测器并不自动意味着一个稳定的控制器。
• 显式界限： 不同于渐近结果，该方法在部署前提供了一个显式的、可计算的跟踪误差最终界限，并考虑了有限数据、约束和持续扰动。
• 对非理想情况的鲁棒性： 该框架明确考虑了重置失配、部署偏移和数值容差，将它们视为 ISS 输入而非假设其消失。
• 研究范围限定： 作者强调，该结果是一个有限时界、依赖于特定任务协议的证书。它并不声称对任意学习到的控制器具有普适稳定性，而是为特定的、在定义协议下的冻结控制配置提供了一套严谨的审计路径。

研究结论指出，只有当 Koopman 学习控制的模型残差、投影残差和通道裕度被作为独立的、可审计的稳定性量进行报告时，才能对其进行稳定性认证。