Correlation Localization in Waveguide QED with Delayed Interactions

技术摘要：具有延迟相互作用的波导量子电动力学中的相关性定域化

问题陈述
波导量子电动力学（wQED）系统通常表现出由受导电磁场介导的长程原子间相互作用。在标准的马尔可夫（Markovian）机制下，即光子传播时间相对于原子时间尺度可以忽略不计时，这些相互作用被视为瞬时的，从而导致由林德布拉德（Lindblad）主方程描述的无记忆动力学。然而，随着实验平台实现更大的原子间距，光子传播延迟变得显著，从而诱发非马尔可夫动力学，此时玻恩近似（Born approximation）失效。虽然之前的研究已经探讨了这些延迟如何改变集体衰减和激发传播，但在这种背景下，相关性的传输——这对于纠缠分发和相干性保持至关重要——在很大程度上仍未得到充分研究。具体而言，在存在延迟诱导的非马尔可夫效应的情况下，特别是对于以单激发初始化的集体系统，相关性传输的行为需要进一步研究。

方法论
作者研究了一个在布拉格条件（Bragg condition）下耦合到一维波导的 $N$ 个相同双能级原子阵列，其中原子间距被设定为传播相位为 $2\pi$ 的倍数。研究重点在于从单激发原子（中心原子）开始，其余原子均处于基态时的弛豫动力学。

为了模拟该系统，作者采用了不调用玻恩-马尔可夫近似的维斯考-维格纳（Weisskopf-Wigner）自发辐射理论。他们推导了一组关于原子激发系数 $\beta_j(t)$ 的时滞微分方程，考虑了原子间有限的光子旅行时间 $\tau_{j,j'} = |x_j - x_{j'}|/v$。相互作用哈密顿量包含了对称衰减率的左向和右向传播模式。由于在拉普拉斯域中直接反转由时滞项引起的超越特征方程在解析上难以处理，作者利用数值方法直接在时域内求解运动方程。

分析重点包括：

1. 激发动力学：追踪中心原子及相邻原子的激发概率随时间演化至稳态的过程。
2. 相关函数：使用自旋-自旋相关函数 $g(j) = \langle \sigma_0^z \sigma_j^z \rangle - \langle \sigma_0^z \rangle \langle \sigma_j^z \rangle$ 来量化原子间的相关性，其中索引 0 表示初始激发的中心原子。
3. 无序效应：通过引入原子间距的高斯随机偏差来引入空间无序，以观察其对定域化的影响。

主要结果
研究揭示了随着光子传播延迟增加，系统从去定域化的集体行为向定域化动力学转变的明显过程：

• 马尔可夫机制 ($\gamma\tau = 0$)：在不存在延迟的情况下，激发在阵列中均匀扩散。中心原子的稳态激发概率随系统尺寸 $N$ 的增加而增加，并在 $N$ 趋于无穷大时渐近趋于 1，反映了集体激发的共享特性。
• 非马尔可夫机制 (有限 $\tau$)：当引入延迟时，中心原子的稳态激发概率降低，并随着 $N$ 的增加而迅速饱和。这表明有一部分激发保留在靠近初始激发原子的区域附近，有效地使中心原子与远端邻居脱耦。动力学过程受限于最近邻相互作用而非整个系综。
• 相关长度标度：原子-原子相关函数随距离中心原子的距离呈指数衰减，$g(j) \propto e^{-|j|/\xi}$。相关长度 $\xi$ 随着延迟 $\tau$ 的增加而减小。至关重要的是，作者发现 $\xi$ 遵循幂律与延迟时间相关联，即 $\xi \propto \tau^{-1/2}$。这一标度是通过将消逝定域化假设（evanescently localized ansatz）代入运动方程解析推导得出的，将定域长度与相互作用延迟以及发射光子的时间相干长度 ($\gamma^{-1}$) 之间的相互作用联系起来。
• 无序效应：引入空间无序会进一步降低相关长度。虽然弱无序遵循与延迟诱导情况类似的幂律标度，但它最终会导致相关长度在有限最小值处饱和（略低于单个晶格点）。这确立了一个由无序造成的定域化极限。研究发现，延迟诱导的非马尔可夫效应比单纯的空间随机性更强烈地限制了相关性，尽管即使是弱无序也会设定一个相关长度的下限。

意义与主张
本文声称阐明了一种新型的非马尔可夫传输现象，即延迟相互作用在波导量子电动力学系统中诱导了原子相关性的定域化。其主要意义在于证明了迟滞效应从根本上改变了激发传输，通过抑制长程相干性并将相关性限制在有限的空间区域内，即使是在单激发机制下也是如此。

作者强调，这种定域化现象是一种稳态效应，源于布拉格条件与完美发射器-波导耦合的特定结合。他们指出，虽然偏离这些理想条件会引入防止真正稳态存在的衰减通道，但瞬态动力学仍会表现出特征性的定域化效应。

在概念上，这项工作将马尔可夫极限与耦合振子的库拉莫托（Kuramoto）模型进行了类比，而具有时延的非马尔可夫机制则类似于具有有限程相互作用的 Kac-Ising 模型。作者认为，这些发现为研究定域化现象以及控制相关性限制提供了新的场景，并有助于设计利用非马尔可夫效应来隔离激发的量子器件。本研究并未提出具体的实验实现方案或除这些理论见解及控制相关性传输潜力之外的未来应用。