Sufficientarian Grading Rules and Rankings: Characterizations and Implementation

想象你正在运行一个规模宏大的未来主义电子游戏，每个玩家开始时都拥有一个独特的“能力背包”。在这些背包里，装有不同等级的技能、工具和资源——我们称之为“可获得性”（affordances）。有些背包里只有一把生锈的勺子和一张破损的地图；有些则有一个金色的指南针和一个完整的净水器。这个问题的核心在于：我们如何决定谁拥有“足够”的东西来正常参与游戏，以及当玩家并不达标时，我们该如何对他们进行排名？

“足够”清单

论文建议，与其通过相互比较玩家（比如说“玩家 A 比玩家 B 富有”）来衡量，我们应该使用一个绝对的清单。这就像是一个关于生活的“合格/不合格”测试。作者提出了一个名为**二元分级函数（Binary Grading Function, BGF）**的系统。

想象一位巨大的、隐形的裁判拿着一份清单。这些阈值就像是一套最低要求：“必须至少有一个指南针”、“必须至少有一个净水器”。如果一个玩家的背包满足或超过了其中任何一个最低要求，他就会得到一个 1（通过/是）。如果他未能满足所有这些要求，他就会得到一个 0（失败/否）。

论文证明，为了让这个“通过/失败”系统既公平又符合逻辑，它必须遵循三个简单的规则：

1. 单调性（Isotony）： 如果你升级了你的背包（得到了一个更好的指南针），你的等级绝不应该降低。更好的装备总是意味着更高的或相等的得分。
2. 可分性（Separability）： 你的等级仅取决于你自己的背包。无论你的邻居是否拥有一个超级酷炫的背包，你的得分完全基于你自己的装备。
3. 对称性（Symmetry）： 规则对所有人一视同仁。无论你是玩家 1 还是玩家 100，使用的都是同一份清单。

如果一个分级系统遵循这三个规则，作者表明它在数学上保证是一个“充分主义”（sufficientarian）规则。这就像是找到了一个让游戏变得公平的秘密代码，而无需知道“完美”的背包究竟长什么样，只需要知道“最低标准”是什么。

玩家排名：谁的处境更糟？

一旦我们确定了谁通过了（1）以及谁失败了（0），我们该如何对玩家进行排名呢？论文探讨了几种方法，但重点讨论了一个关于流行观点的主要争论。

有些人认为我们应该直接统计有多少人通过了。如果 90% 的学生通过了，那么这就是一个“好”班级。作者称之为**充分性计数（Sufficiency-Count）**排名。然而，他们指出，批评者经常提到的一个主要缺陷是：这种方法将一个“大家都勉强通过”的班级与一个“大家都优秀通过”的班级视为同等。它也无法告诉我们那些失败的学生到底落后了多少。

论文指出，许多充分主义的倡导者拒绝使用“充分性计数”排名来指导救援政策，因为它无法衡量问题的深度。相反，作者认为，为了解决问题（比如帮助那些失败的学生），我们需要知道差距（gap）。玩家的背包距离“通过”线还有多远？

• “差距”概念： 想象“通过”线是一个悬崖边缘。如果你站在边缘，你是安全的。如果你退后了 10 英尺，你就陷入了麻烦。如果你退后了 100 英尺，你就陷入了深重的麻烦。
• 作者定义了一个“距离”度量。他们计算一个玩家距离最低要求还有多少个“步数”。
• 他们提出了两种主要方式来根据这些差距对整个群体进行排名：
  1. “平均差距”（最小平均值/Min-Average）： 我们观察所有失败玩家的总距离，然后除以失败玩家的人数。我们希望最小化这个平均距离。这类似于一种功利主义方法：“让我们帮助整个群体尽可能地靠近悬崖边缘。”
  2. “最坏情况差距”（最小最大值/Min-Leximax）： 我们寻找离边缘最远的那位玩家。我们尝试先帮助这个人，然后是下一个最远的人，以此类推。这类似于一种平等主义方法：“我们必须先把那个掉进最深坑里的人救出来，然后再去管其他人。”

论文并未明确拒绝将“充分性计数”排名作为描述社会的工具，但它强调，依靠它来引导补救政策是极具争议性的，并且经常被充分主义者所拒绝，因为它忽略了不足程度的严重性。

“谁来制定规则？”的问题

这里是最棘手的部分。谁来挑选清单？谁来决定什么是“足够”？是一个指南针？一个净水器？还是一个金色的指南针？

作者指出，在现实世界中，我们不能由一个独裁者来挑选规则。我们需要一种民主的方式来达成关于“阈值”的共识。但问题在于，如果人们知道规则将通过投票决定，他们可能会撒谎说：“我希望阈值非常低，这样我就能通过！”或者“我希望阈值非常高，这样我的朋友就会失败！”

论文提出了一个巧妙的解决方案，利用机制设计（Mechanism Design）。他们展示了如果我们将“阈值”视为地图上的点，并且如果每个人的观点都是“单峰的”（即每个人都有一个自己最理想的阈值，并且他们更倾向于选择靠近其理想点的阈值，而非远离其理想点的阈值），那么我们可以使用简单多数投票制来选出规则。

想象一条可能的阈值线。如果每个人在这条线上都有一个心仪的位置，并且他们更偏好靠近其心仪位置的点，那么投票选出中间点（中位数）是一种“策略透明”（strategy-proof）的方法，这意味着没有人可以通过撒谎来操纵系统。如果你有奇数个投票者，简单的多数投票总能选出一个公平、诚实的阈值，且不会被任何人操纵。

本文没有说明的内容

了解这篇论文没有做的事情也很重要：

• 它没有告诉你具体的“足够”阈值应该是多少（例如，它没有说“每天 50 美元即为足够”）。它只解释了如何公平地选择一个。
• 它没有声称“数人头”（充分性计数）是一种描述社会的糟糕方法。它承认，虽然许多充分主义者拒绝将其用于引导救援政策，但论文本身侧重于为这些特定的政策决策提供替代性的“差距”排名。
• 它在这一特定版本中没有解决“负担”（如搬运重石）或“公共物品”（如清洁空气）的问题，尽管作者暗示他们的数学模型在未来可以扩展到包含这些内容。

核心结论

作者建立了一个数学工具包，它表明：

1. 公平性在检查某人是否拥有“足够”的东西时，源于三个简单的规则（单调性、可分性、对称性）。
2. 解决问题需要观察人们距离目标还有多远，而不仅仅是看有多少人失败了。
3. 设定目标可以通过民主方式完成而不受欺骗，只要我们在特定的“地图”类型上使用简单多数投票。

这是一种将“每个人都应该拥有足够的东西”这一模糊概念转化为清晰、公平且在数学上严谨的行动方案的方法。