Proof of a conjecture of Andrews and El Bachraoui on the parity of two-color partitions

技术摘要：关于 Andrews 与 El Bachraoui 关于双色分拆奇偶性猜想的证明

问题陈述
本文解决了由 Andrews 和 El Bachraoui 提出的一个关于特定 $q$-级数系数 $to(n)$奇偶性的猜想。该级数$To(q)$ 定义为：
$$To(q) := \sum_{n \ge 0} to(n)q^n = \sum_{n \ge 0} \frac{(-q)^{2n}}{(q; q^2)_{n+1}} q^{2n}$$
Andrews 和 El Bachraoui 此前已经确定，如果相关级数 $C(q) = (q)_\infty To(q)$ 的系数 $c(n)$ 非零，则 $24n + 28$ 可由二元二次型 $x^2 + 3y^2$ 表示。受此启发，他们提出了一个关于 $to(n)$奇偶性的类似表示性质的猜想：具体而言，如果$8n + 9$不能由二元二次型$x^2 + 2y^2$表示，那么$to(n) \equiv 0 \pmod 2$。

方法论
作者利用初等 $q$-级数恒等式和模算术技术来分析生成函数 $To(q)$。证明策略如下：

1. 生成函数的分解： 作者利用了一个已知的恒等式，将 $C(q)$ 与涉及三角数和五边形数的 $\Psi(q)$、$T(q)$ 和 $\Theta(q)$ 的 $\theta$ 函数联系起来：
   $$2qC(q) = \Psi(q)T(q) - (q)_\infty \Theta(q)$$
   其中 $\Psi(q)$、$T(q)$ 和 $\Theta(q)$ 由特定的求和式定义。

2. 代数变形： 通过将 $To(q) = C(q)/(q)_\infty$ 进行表达，作者得到了一个关于这些 $\theta$ 函数的 $2qTo(q)$表达式。随后，他们将$T(q)$和$\Theta(q)$分解为偶数项和奇数项之和，引入辅助级数$S(q)$和$R(q)$ 以分离特定的奇偶贡献。

3. 模约减： 证明的核心在于将所得表达式在模 2 下进行约减。作者利用欧拉五边形数定理和 eta-商（eta-quotients）的性质，证明了：
   $$\frac{\Psi(q)}{(q)_\infty} \equiv \sum_{m \in \mathbb{Z}} q^{m(3m+1)} \pmod 2$$
   这使得 $qTo(q)$ 的表达式可以重写为仅包含奇数下标的级数乘积之和。

4. 系数分析： 作者分析了所得级数在模 2 下的 $q^{n+1}$ 项系数。他们论证了，如果 $to(n)$为奇数（即$to(n) \not\equiv 0 \pmod 2$），那么$n+1$必须源自涉及奇整数$r$和任意整数$m$ 的三种特定代数形式之一。

主要贡献与结果
本文的主要贡献是严格证明了猜想 1.2（在文中表述为定理 1.3）。作者建立如下结论：
$$to(n) \not\equiv 0 \pmod 2 \implies 8n + 9 \text{ 可由 } x^2 + 2y^2 \text{ 表示}$$
证明通过为 $to(n)$模 2 非零的每种情况显式构造$8n+9$在$x^2 + 2y^2$ 形式下的表示来实现：

• 情况 1： 若 $n+1 = \frac{m(m+1)}{2}$ 且 $m$ 为奇数，则 $8n+9 = (2m+1)^2 + 2(0)^2$。
• 情况 2： 若 $n+1 = \frac{r(3r+1)}{2} + m(3m+1)$ 且 $r$ 为奇数，则 $8n+9 = (2r+4m+1)^2 + 2(2r-2m)^2$。
• 情况 3： 若 $n+1 = \frac{r(3r+1)}{2} + (2r+1) + m(3m+1)$ 且 $r$ 为奇数，则 $8n+9 = (2r-4m+1)^2 + 2(2r+2m+2)^2$。

因此，如果 $8n+9$ 不能由 $x^2 + 2y^2$ 表示，则上述三种情况均不会发生，从而意味着 $to(n) \equiv 0 \pmod 2$。

意义与主张
本文声称解决了 Andrews 和 El Bachraoui 关于这些双色分拆奇偶性的猜想。作者指出，他们的工作是与另一项同样证明了该定理但使用了显著不同方法的著作（引用为 [4]）独立且同时进行的。其意义在于建立了分拆系数的算术性质与二元二次型表示数之间的精确联系，扩展了已知关于受限双色分拆的同余性质。本文并未提出除解决这一特定猜想之外的新应用或未来影响。