Existence of two embedded minimal spheres in $S^3$ with an arbitrary metric

技术摘要：任意度量下 $S^3$ 中存在两个嵌入式极小球面

问题陈述
本文解决了由 S. T. Yau 在 1982 年提出的一个长期存在的难题（[44] 中的问题 89），该问题要求证明任何微分同胚于 3-球面 ($S^3$) 的黎曼流形都包含至少四个不同的嵌入式极小球面。虽然 Simon 和 Smith [36] 在 40 多年前利用 min-max 理论确立了至少存在一个此类球面的结果，但对于任意黎曼度量，第二个不同嵌入式极小球面的存在性仍未得到证明。以往建立多个球面存在性的结果（例如 White [43], Haslhofer–Ketover [17]）都依赖于限制性假设，如正 Ricci 曲率或“光滑”（bumpy）度量。本文旨在移除这些曲率假设，并证明对于 $S^3$ 上的任何黎曼度量，都存在至少两个不同的嵌入式极小球面。

方法论
作者采用了一种结合相对 min-max 构造的迭代方案进行的反证法。其核心方法论包括以下步骤：

1. 唯一性假设： 证明假设 $(S^3, g)$ 仅包含一个嵌入式极小球面，记为 $\Sigma_0$。根据先前的工作 [40]，如果 $\Sigma_0$ 是唯一的，则它必须是弱稳定的，并且拥有一个“扩张邻域”（由平均曲率向量指向 $\Sigma_0$ 外部的常平均曲率曲面组成的叶状结构）。

2. 多参数扫掠（Multi-Parameter Sweepouts）的构造： 作者构造了一个由 $k$ 维单纯形 $\Delta_k$ 参数化的连续分片光滑嵌入球面族 $\Phi_\Lambda: \Delta_k \to \mathcal{E}$。

   • 叶状结构： 他们利用以 $\Sigma_0$ 为中心的 $S^3$ 的平均凸叶状结构 $\Upsilon$。
   • 颈部插入（Neck Insertion）： 对于参数向量 $x = (x_1, \dots, x_k) \in \Delta_k$，映射 $\Phi_\Lambda$ 通过取叶状结构 $\Upsilon(x_i)$ 的切片并用“颈部”连接它们来创建一个球面。
   • 半径控制： 颈部的半径 $\xi_i$ 根据相邻参数 $x_i$ 与 $x_{i+1}$ 之间的距离以及一个大参数 $\Lambda$ 进行递归定义。具体而言，$\xi_i = e^{-\Lambda(x_{i+1}-x_i)}(1-\xi_{i-1})$。这种构造确保了如果两个参数很接近，连接的颈部具有较大的半径但较小的高度，从而产生均匀且微小的面积贡献。

3. 面积估计与光滑化：

   • 作者推导出了所构造族精确的面积界限。至关重要的是，他们证明了对于足够大的 $k$ 和适当的 $\Lambda$，在单纯形内部，族 $\Phi_\Lambda(x)$ 的面积严格小于 $k H^2(\Sigma_0)$，而在边界上，面积严格小于 $(k-1)H^2(\Sigma_0)$。
   • 他们处理了分片光滑性的问题，通过将该族进行光滑化处理以获得一个映射到光滑嵌入球面空间的映射，同时保持严格的面积上界。

4. 迭代相对 min-max：

   • 利用相对 Simon–Smith min-max 理论（定理 2.2），作者定义了与子单纯形上的扫掠相关的 min-max 值 $L_k$。
   • 他们采用了类似于 Lusternik–Schnirelmann 的论证。在唯一性假设下，他们通过归纳证明，第 $k$ 个扫掠的 min-max 值必须等于 $k H^2(\Sigma_0)$。
   • 拓扑障碍： 一个关键组成部分是引理 6.1，这是一个拓扑引理，用于确保如果 min-max 值严格小于边界值（这将意味着存在一个新的极小球面），则该定义域可以被收缩，从而与扫掠的同调性质相矛盾。

5. 矛盾：

   • 构造确保了对于较大的 $k$，扫掠在内部的面积严格小于 $k H^2(\Sigma_0)$。
   • 然而，在唯一性假设下的归纳论证迫使 min-max 值恰好等于 $k H^2(\Sigma_0)$。
   • 这种矛盾意味着唯一性假设是错误的。

主要贡献

• 移除曲率假设： 本文将多个极小球面的存在性扩展到了 $S^3$ 上的任意黎曼度量，这比以往需要正 Ricci 曲率或 bumpy 度量的结果有了显著的推广。
• 迭代相对 min-max 方案： 作者开发了一种新的迭代方案，该方案使用多参数球面族的相对 min-max 构造。这种方法克服了“整数重数”（integer multiplicity）障碍，即在 Simon–Smith 理论中，可能会产生单个具有更高重数的极小球面（例如，$\Sigma_0$ 被计算了两次）。
• 颈部构造与面积控制： 具有受控颈部半径的多参数族构造使得能够实现严格的面积上界，这对于矛盾论证至关重要。这处理了将映射连续扩展到整个单纯形并同时保持面积约束的困难。

结果
主要结果表述为 定理 A（重述为定理 6.3）：

对于任何任意黎曼度量 $g$，$(S^3, g)$ 中至少存在两个不同的嵌入式极小球面。

这一结果证实了 Yau 猜想中关于四个球面的第一步，即在没有任何几何限制的情况下，确立了第二个不同球面的存在性。

意义
本文声称，这项工作标志着首次为一般度量下的 $S^3$ 构建了不止一个嵌入式极小球面。通过打破针对任意度量下整数重数的障碍，它将 Simon 和 Smith [36] 最初的结果（发现了一个球面）向前推进了显著的一步。作者指出，虽然他们的先前工作 [40] 利用重数一（multiplicity-one）定理解决了具有正 Ricci 曲率或 bumpy 度量的猜想，但本文将研究范围扩展到了通用情况。所开发的方法，特别是迭代相对 min-max 构造以及在不依赖 Ricci 曲率假设的情况下处理面积界限的方法，被视为可以应用于研究类似几何拓扑问题（且不需要特定曲率条件）的工具。