Topology-Preserving Mesh Adaptation for Sharp-Interface Multiphase PFEM

技术摘要：用于锐利界面多相流的拓扑保持网格自适应 PFEM

问题陈述
准确模拟不互溶多相流面临着显著挑战，原因在于宏观对流输运与微观界面现象之间的多尺度差异。传统的欧拉方法，如流体体积法 (VOF)、水平集法 (Level-Set) 和弥散界面模型，通常存在固有局限性：弥散界面法会引入非物理的数值扩散，并无法严格执行锐利的压力跳跃；水平集法容易出现数值质量损失；而 VOF 方法则需要复杂的几何重建来保证曲率的准确性。相比之下，虽然像粒子有限元法 (PFEM) 这样的拉格朗日方法可以避免对流项并处理大变形，但在极端节点平移过程中难以维持网格完整性。标准的 PFEM 重构通常依赖于受限三角剖分或 $\alpha$-shape 滤波器，这可能会通过边翻转（edge flips）无意中改变界面的连通性。这会导致由网格分辨率而非底层物理驱动的拓扑变化，从而可能引入非物理伪影，例如过早的丝状结构断裂（pinch-off）或人工卫星泡的产生。

方法论
作者提出了一种基于 PFEM 的全拉格朗日框架，该框架集成了一种鲁棒的、保持拓扑结构的网格自适应策略。该方法的核心是重构程序，它将界面几何保持与全局网格尺寸解耦，确保在不依赖于经典受限三角剖分的情况下维持锐利界面。

1. 控制方程与平流： 使用稳定的 $P1-P1$ 有限元法 (FEM) 求解不可压缩纳维-斯托克斯方程。为了处理多相系统中的表面张力，引入了增强压力场 ($p^*$) 以捕捉界面处的间断，尽管该特定公式目前仅限于两相流。拉格朗日框架消除了对流加速度项。为了提高质量守恒性，作者利用二阶显式 Adams-Bashforth (AB2) 方案进行节点平流，利用时间速度历史来避免与高阶 Runge-Kutta 子步相关的拓扑约束。

2. 保护球准则（理论基础）： 该方法基于 Voronoi 图与 Delaunay 三角剖分之间的对偶性。作者建立了“保护球准则”（定理 1）：如果每个离散化界面段都关联着一个不包含其他顶点的开圆盘（空圆盘），那么该段保证会出现在点云的无约束 Delaunay 三角剖分中。

3. 界面恢复与自适应： 为了在重构过程中满足保护球准则，算法对平流后的点云执行两个连续操作：

   • 边分裂（Edge Splitting）： 对过长或缺乏相关空圆盘的界面边进行递归分裂，以减小所需的圆盘直径。
   • 体网格节点过滤（Volume Node Filtering）： 移除侵入界面段空圆盘的体网格节点（即不属于界面的节点）。至关重要的是，界面节点本身永远不会被移除，从而保持了离散拓扑。
   • 粗化（Coarsening）： 为了防止节点无限增长，根据几何平坦度容差对过度细化的界面区域进行粗化，前提是该操作不会改变三相点（triple points）的拓扑或违反最小尺寸阈值 ($w_{min}$)。

4. 体网格自适应： 在界面恢复之后，应用基于 Chew 研究的细化算法处理流体体部。这确保了从高度细化的界面区域到较粗体部的单元尺寸平滑过渡，并受用户定义的尺寸场控制。这一步骤在尊重受保护界面圆盘的同时，优化了单元质量（长宽比）。

5. 数据传输： 由于新网格与原界面拓扑相符，物理量（相指示器和速度）通过查询新单元的质心相对于原网格的位置来进行传输，从而确保质量守恒和相分配。

核心贡献

• 无需受限三角剖分的拓扑保持： 本文介绍了一种通过强制执行直径空圆盘条件（通过边分裂和节点过滤）来保证在标准 Delaunay 三角剖分中恢复锐利界面的方法。这消除了受限 Delaunay 三角剖分的计算开销以及在三维空间中的泛化问题。
• 物理与网格分辨率的解耦： 该框架将拓扑转变（合并、断裂）的决策与网格尺寸分离。只有当界面段达到临界最小尺寸 ($w_{min}$) 时才允许发生拓扑转变，在此之下，空圆盘准则会被放宽。这使得集成亚格点物理模型以独立于离散化控制拓扑变化成为可能。
• 鲁棒的质量守恒： 通过采用二阶 Adams-Bashforth 平流方案和保形重构策略，该方法显著降低了与一阶显式 Euler 方案相比的质量损失，并通过基准测试得到了验证。
• 多相系统的可扩展性： 该方法已证明能够处理任意数量的不互溶相，成功模拟了包括 16 相瑞利-泰勒不稳定性在内的复杂场景。

结果与验证
该框架通过了标准多相基准测试的验证：

• 箱中涡流（Vortex in a Box）： 该方法成功保留了薄流体丝状结构，并通过连续的重构步骤恢复了锐利边界。使用 Adams-Bashforth 方案展示了优于一阶方案的质量保持能力，其结果与高阶 Runge-Kutta 参考值高度吻合。
• 三相瑞利-泰勒不稳定性： 模拟结果显示出与体积法 (VOF) 和移动粒子半隐式法 (MPS) 基准的高度一致性。自适应网格通过将节点聚集在界面附近，显著减少了相比均匀网格的总节点数，同时在混合阶段仍能捕捉到薄丝状结构。
• 孤立上升气泡： 该方法准确预测了气泡上升速度和圆度，与 Level-Set 和 ALE 求解器的参考数据相匹配。它在实现这些结果时，使用的节点数显著少于经典的弥散界面方法。
• 网格依赖性与 16 相流： 作者展示了模拟结果对网格配置具有高度敏感性。通过人为引入边翻转，他们展示了微小的网格变化如何触发不同的拓扑结果（例如，产生卫星泡）。该方法处理 16 相系统的能力证实了其几何通用性和鲁棒性。

意义与主张
本文声称，该框架通过在重构过程中严格保持几何界面和物理拓扑，为模拟不互溶多相流提供了一个鲁棒的解决方案。其主要意义在于能够在不引入弥散界面法的数值扩散或水平集法的质量损失的情况下，维持锐利界面，同时避免了受限三角剖分的计算复杂性。

作者强调，我们的方法允许物理模型而非离散化伪影来决定拓扑变化。通过将界面拓扑保持在特定的容差 ($w_{min}$) 以下，该方法防止了诸如过早丝状结构断裂等非物理现象。虽然目前的实现仅限于二维及两相表面张力建模，但作者断言，其底层的几何哲学和理论保证在三维空间中同样完全有效，这代表了该框架的一个逻辑演进方向。这项工作强调，虽然网格自适应提高了效率，但网格分辨率与物理结果之间的耦合仍然至关重要，因此必须仔细选择分辨率参数或集成用于拓扑转变的亚格点模型。