A dual linear programming bound for sphere packing in dimension 36

技术摘要：维度 36 球体填充的双线性规划界限

问题陈述
本文研究了维度 $d=36$ 的球体填充问题，特别关注 Cohn–Elkies 线性规划（LP）界限。虽然 LP 界限在维度 8 和 24 中已知是紧致的（sharp），但在所有其他维度中其紧致性仍是一个悬而未决的问题。作者调查了 Cohn–Elkies 界限（记作 $\delta_{LP}(d)$）是否能够证明当前已知最优填充 $\delta^*(d)$ 的最优性。在维度 36 中，目前已知的最优填充是中心密度为 $2^{18}/3^{10}$ 的 Kschischang–Pasupathy 配置。目标是构造一个“对偶可行点”（一种特定的辅助函数），使得生成的 $\delta_{LP}(36)$ 下界严格大于 Kschischang–Pasupathy 填充的密度。如果成功，这将证明没有任何 Cohn–Elkies 函数可以证明已知填充的最优性。

方法论
该构造遵循 Cohn 和 Triantafillou 的方法，利用了对于同余子群 $\Gamma_0(24)$ 的权重为 $k=18$ 的模形式空间。该方法的核心在于寻找一对权重为 $k=18$（其中 $k=d/2$）的模形式 $(g, \tilde{g})$，它们需满足特定的系数约束，以生成用于 LP 界限的有效分布。

本文详细介绍了解决维度 36 问题时所需的两项关键方法论创新，在维度 36 中，之前的方法（在维度高达 32 时仍能成功）面临着数值和理论上的障碍：

1. 约束生成（切割平面公式化）：
   一种朴素的线性规划松弛方法（仅强制系数在有限范围 $n$ 内非负）产生的最优解在强制范围之后立即变为负数（具体表现为 $n \equiv 3, 9, 15, 21 \pmod{24}$）。相反，一个包含数百行的完全约束问题对于浮点求解器而言是数值奇异的，对于精确的稠密单纯形法（dense simplex methods）来说规模又太大。

   • 解决方案： 作者采用了一种约束生成方法。首先在一个小的作业集上求解一个精确的有理 LP。随后识别出违反约束的行（即系数为负的情况），将其精确地添加到约束集中，然后重新求解 LP。在维度 36 中，该过程在单轮迭代中便收敛，产生了一个精确的有理顶点，其 $q$-展开式在远超强制范围的范围内仍保持非负。

2. 感知提升的 Deligne 常数（Lift-Aware Deligne Constant）：
   证明“最终正性”（即系数对于所有 $n > n_0$ 保持非负）需要对模形式的尖点部分进行有界估计。标准的 Deligne 界限使用新形式提升基底下的 $\ell_1$-范数。

   • 解决方案： 作者指出，在这种语境下，朴素的 $\ell_1$-范数是“有损的”，因为证书主要由一个深层的旧形式提升（由 $e=24$ 平移的 level-one newform）所主导。朴素常数未能通过验证阈值。作者引入了一个“感知提升”的常数 $C_w = \sum_{f,e} |\lambda_{f,e}| e^{-(k-1)/2}$，通过因子 $e^{-(k-1)/2}$ 来抑制深层提升的贡献。该改进后的常数比原先小了十个数量级，使得验证能够以显著的余量完成。

关键结果
本文构造了一个显式的对偶可行点 $(g, \tilde{g})$ 并得出以下结果：

• 对偶界限： 所构造的证书表明，维度 36 的 Cohn–Elkies 线性规划界限满足：
  $$\delta_{LP}(36) \geq 146.1036\dots = 32.9104\dots \times \frac{2^{18}}{3^{10}}$$
• 与已知填充的比较： 该下界超过 Kschischang–Pasupathy 填充密度（$2^{18}/3^{10}$）至少 32.91 倍。
• 含义： 因此，没有任何 Cohn–Elkies 辅助函数可以证明 Kschischang–Pasupathy 填充在维度 36 中的最优性。LP 界限严格高于已知的最佳填充密度。
• 验证严谨性： 该证书是精确的。对偶点是一个具有约 128 位数字分子的有理向量。系数非负性通过在 $n=800$ 处的精确算术进行验证。对于 $n > 800$，通过使用感知提升的 Deligne 常数和显式的尾部界限来证明最终正性，其中所有常数均通过外向舍入区间算术（outward-rounded interval arithmetic）进行认证。

意义与主张
本文声称在球体填充和模形式领域做出了几项重要的贡献：

1. 扩展已知界限： 这是第一个在维度 32 以上构造出的对偶界限。它扩展了现有的 Cohn–Triantafillou 表格（涵盖 $d=12, 16, 20, 28, 32$）、Li（$3 \le d \le 13$）以及 de Courcy-Ireland 等人（$d=6$）的研究成果。
2. 方法论进步： 本文强调，在处理高维度且精确稠密 LP 难以处理的情况时，约束生成公式对于达到尾部安全（tail-safe）的最优解至关重要。此外，本文证明了感知提升的 Deligne 常数对于在由深层旧形式提升主导的情况下进行严格验证是必要的，而在这种情况下标准界限会失效。
3. 结果性质： 作者指出，尽管对偶陈述非常强（差距很大），但“严格非紧致性”（即证明 $\delta_{LP}(36) > \delta_{max}(36)$，其中 $\delta_{max}$ 是真正的最优密度）仍然难以实现。严格非紧致性需要一个低于 $32.91 \times \delta^*$ 的独立上界，而这一阈值目前通过现有的三点界限技术是无法达到的。
4. 可复现性： 本文强调，验证过程仅依赖于精确的有理线性代数和区间算术，独立于带有模形式机制的计算机代数系统。所有代码、收据和精确数据均作为附件提供。

文章总结道，维度 36 代表了一个性质不同的范畴，在该维度下，已知的记录填充相对于 LP 界限显得较弱，这使得对偶陈述非常有力，但关于严格最优性的问题则更难解决。