Compact Coefficient Formulae for Logarithmic Tangent and Hyperbolic Integrals

技术摘要：对数正切与双曲积分的紧凑系数公式

问题陈述
本文研究了涉及双曲函数与对数正切函数的定积分的求值问题，这些积分的值可以表示为奇数黎曼 Zeta 值 ($\zeta(2p+1)$) 与偶数狄利克雷 Beta 值 ($\beta(2p)$) 的有限线性组合。正如 Kyrion [1] 以及相关的围道积分研究 [2] 所指出的，此类领域存在一个持久的困难：虽然特殊值本身是已知的，但伴随的系数通常由递归数组、嵌套有限和或辅助结构定义。这些定义模糊了计算过程，掩盖了对参数的依赖性，并隐藏了诸如消失范围以及初始与末端系数的简单形式等结构特征。

方法论
作者开发了一个基于从显式初等表达式中进行系数提取的统一框架。该方法通过三个主要阶段进行：

1. 切比雪夫–反正弦提取： 对于形式为 $\int_0^\infty \frac{\sinh((2k+1)x)}{x \cosh^n x} dx$ 的平移双曲积分，本文通过将围道积分表示法经由代换 $x = \sin z$ 进行转换，将源自围道积分的系数和转换为涉及第二类切比雪夫多项式 ($U_m$) 与 $\arcsin x$ 幂次的单系数提取。
2. 洛朗系数公式： 对于对数正切积分 $\int_0^{\pi/4} \frac{\sin(4nx)}{\ln(\tan x)} dx$ 以及 $\int_0^{\pi/4} \frac{\cos((4n-2)x)}{\ln(\tan x)} dx$，作者结合了多角展开式与切比雪夫多项式的二项式恒等式。这产生了涉及 $U_{2n-1}(1/x)$ 或 $U_{2n-2}(1/x)$ 乘以 $\arcsin x$ 幂次的紧凑洛朗系数公式。
3. 通过分部积分实现的余切坍缩： 对于一般族 $\int_0^\infty \frac{\tanh^{m+1} x}{x^{n+1}} dx$（其中 $m \ge n \ge 1$ 且 $m+n$ 为偶数），本文采用重复分部积分法。这将其简化为一系列平移双曲积分之和。关键步骤是利用由算子 $L = (1-y^2)\frac{d}{dy}$ 导出的辅助多项式 $\Phi_{m,n}$。通过变量代换 $v = \cot u$，剩余的求和项被“坍缩”为函数 $(u \cot u)^{m+1}$ 的单个系数。

主要贡献与结果

• 统一系数公式： 主要结果是用显式的、非递归的系数提取取代了递归或嵌套的定义。

  • 对于平移双曲积分，系数由 $[x^{2n}] U_{2k}(x)(\arcsin x)^{2p}$ 和 $[x^{2n-1}] U_{2k}(x)(\arcsin x)^{2p-1}$ 给出。
  • 对于对数正切积分，系数是从涉及 $U_{2n-1}(1/x)$ 或 $U_{2n-2}(1/x)$ 的洛朗乘积中提取的。
  • 对于一般正切幂积分，公式为：
    $$\int_0^\infty \frac{\tanh^{m+1} x}{x^{n+1}} dx = (-1)^{(m-n)/2} \sum_{p=\lceil n/2 \rceil}^{(m+n)/2} \binom{2p}{n} \frac{(2^{2p+1}-1)\zeta(2p+1)}{\pi^{2p}} [u^{m+n-2p}](u \cot u)^{m+1}$$

• 结构性见解： 新公式使结构属性变得直观可见：

  • 消失范围： 下限求和界 $p = \lceil n/2 \rceil$ 直接解释了初始 Zeta 值的缺失（例如，当 $n \ge 3$ 时，$\zeta(3)$ 会消失）。
  • 末端系数： 本文推导出了一个无奇偶性限制的末端系数恒等式：$[x] U_{r-1}(1/x)(\arcsin x)^r = 2^{r-1}$。这统一了正弦与余弦对数正切族的末端系数。
  • 初始系数： 对于偶数 $n$，第一个 Zeta 项的系数被证明与 $m$ 无关，简化为 $(-1)^{n/2}(2^{n+1}-1)\zeta(n+1)/\pi^n$。

• 直接证明： 该方法为特定系数（如 $\beta(2)/\pi$ 的系数）提供了直接证明，这些系数此前是通过其他手段确定的，而现在仅通过系数提取表示法即可得出。

意义
本文声称，这些公式的主要优势在于用“对已知函数进行的一次局部代数运算”取代了“递归生成的数值”。这种转变提供了三个具体益处：

1. 可计算性： 系数可以直接从标准幂级数中计算，而无需维护递归数组。
2. 可见性： 对所有参数（$m, n, k$）的依赖关系保持显式。
3. 结构清晰度： 嵌套和中难以察觉的现象——如展开式的精确支撑集、初始项的消失以及边界系数的简单形式——在这些公式中得到了自然的揭示。

在对角情形（$m=n=N-1$）下，结果为 $\int_0^\infty (\tanh x/x)^N dx$ 提供了一个直接的、非递归的形式，取代了 Kyrion [1] 在早期描述中发现的嵌套系数。这项工作并非旨在提出新的应用或实验方向，而是侧重于将现有的数学知识重新组织成一种更透明且计算效率更高的代数形式。