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Benchmarking loss functions for trainable quantum feature maps

本文系统地基准测试了用于可训练量子特征映射的对数似然（Log-Likelihood）、距离（Distance）和测量（Measurement）损失函数，通过广泛的数值实验证明，对数似然损失在稳定的优化动力学、线性计算复杂度和预测性能之间提供了更优越的平衡。

原作者： Nguyen Dinh Quyen, Vu Tuan Hai, Quoc Chuong Nguyen, Le Bin Ho, Lan Nguyen Tran

发布于 2026-07-15

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CC BY 4.0

原作者： Nguyen Dinh Quyen, Vu Tuan Hai, Quoc Chuong Nguyen, Le Bin Ho, Lan Nguyen Tran

原始论文采用 CC BY 4.0 许可（http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/）。 ✨ 这是对下方论文的AI生成解释。它不是由作者撰写或认可的。如需技术准确性，请参阅原始论文。阅读完整免责声明

想象一下，你有一个超级聪明的机器人，它需要把一堆乱七八糟的混合玩具分类到不同的盒子里。在量子计算的世界里，这个机器人被称为量子支持向量机（QSVM）。为了完成这项工作，它首先需要使用一种叫做**可训练量子特征映射（TQFM）**的工具，将每个玩具的“形状”翻译成一种特殊的量子语言。你可以把这个映射想象成一个神奇的透镜，它可以扭转和旋转玩具，使它们完美地契合进各自的盒子。

但棘手的地方在于，机器人需要一位老师来告诉它做得好不好。这位老师就是损失函数（Loss Function）。它就像一个计分板，会说：“你离目标越来越近了！”或者“你完全搞错了！”

旧老师的问题

在过去，科学家们尝试过两种主要的老师：

“逐一比较”型老师（距离损失/Distance Loss）： 这位老师非常细致。它会抓起堆里的每一个玩具，并将它们与每一个其他玩具进行比较，看看它们之间有多远。这就像是要求一名学生去比较篮子里每一个苹果与其他所有苹果之间的差异，以找出最好的那些。
- 代价： 这太慢了。如果你把玩具的数量增加一倍，所需的时间并不仅仅是增加一倍，而是会变成原来的四倍。论文显示，对于一个包含 30 个样本的数据集，这种方法仅训练就耗时超过 4,500 秒（超过一小时！），而其他方法仅需约 125 秒。对于大堆玩具来说，这太慢了。
“指哪打哪”型老师（测量损失/Measurement Loss）： 这位老师速度很快。它不会把每个人都进行两两比较，而是针对每个玩具指向一个特定的目标盒子，并说：“进到那里去！”它只检查玩具是否接近那个目标。
- 代价： 这位老师很快（线性缩放，意味着如果玩具数量翻倍，时间也只是翻倍），但它有点笨拙。论文发现，这位老师经常会感到困惑。想象一下两组玩具试图奔向各自的目标，但它们必须穿过一条狭窄的走廊。它们会互相碰撞、缠绕在一起，导致机器人的表现崩溃。研究人员称之为**“轨迹交叉问题”（Trajectory Crossing Problem）**。在模拟实验中，这位老师非常不稳定，在某个数据集上，准确率会根据机器人开始工作时的状态而在 87% 和 97% 之间剧烈波动。

新英雄：对数似然损失（Log-Likelihood Loss）

作者引入了一位新老师，叫做对数似然损失（LLL）。

你可以把这位老师想象成一位睿智的教练，他明白当学生犯了一个极其严重的错误时，他们需要一个更强的推动力来纠正。

旧的“指哪打哪”型老师无论机器人是稍微偏离还是完全迷失，给出的都是同样的轻微拍打。
新的对数似然老师则会说：“如果你偏离得太远，我会给你一个更强的信号来立即纠正它。”

结果如何？
在实验中，这位新老师既保持了快速老师的速度，又解决了笨拙的问题。

稳定性： 在同一个旧老师表现不稳的数据集上，新老师表现得非常稳定。准确率没有剧烈波动，而是稳定在 92% 到 97% 之间，且波动极小。
速度： 它保持了高效，对于 30 个样本，耗时约为 125 秒，与旧的快速老师一样快。
性能： 虽然超慢的“逐一比较”型老师在某些情况下仍能获得最高分（例如在某个数据集上达到 99%），但新老师也紧随其后，通常能超越旧的快速老师，并非常接近那个缓慢的老师。

“如果……会怎样”的情景

研究人员不仅仅是在猜测；他们运行了数千次模拟，以确保万无一失。

噪声： 他们测试了如果机器人的大脑变得有些模糊（模拟现实世界的量子噪声）会发生什么。对于简单的玩具堆，新老师的表现纹丝不动。对于较难的玩具堆，准确率虽然有所下降（从 94% 降至 85%），但它仍然有效。
深度： 他们尝试让机器人的大脑变得更深（增加更多的逻辑层）。他们发现，虽然更深的大脑有助于解决“碰撞”问题，但并不总是能让机器人变得更聪明。有时，过于深奥的大脑只会死记硬背训练中的玩具，而不是学会如何分类新的玩具。

总结

论文表明，如果你想构建一个能够快速分类数据且在混乱情况下不会崩溃的量子机器人，你不应该使用那种缓慢的“比较一切”法，并且要对旧的“指哪打哪”法保持警惕，因为它容易产生缠绕问题。

相反，对数似然损失提供了一个完美的平衡点。它保留了处理大数据所需的速度，同时增加了“更强信号”机制，防止机器人在训练过程中感到困惑。它并不是一个能瞬间解决所有问题的万灵药，但在这些模拟实验中，它证明了自己是训练量子特征映射的一种更可靠的教练。

技术摘要：可训练量子特征映射的损失函数基准测试

问题陈述
量子支持向量机（QSVM）依赖于量子特征映射（QFM）将经典数据编码为高维量子态。虽然标准的 QSVM 使用固定的 QFM，但这限制了其表达能力和对复杂非线性数据分布的适应性。可训练量子特征映射（TQFMs）通过引入参数化门和数据重上传（data re-uploading）来优化嵌入空间，从而解决了这一问题。然而，TQFMs 的优化高度依赖于损失函数的选择。现有文献缺乏关于不同损失函数如何影响优化动力学、计算成本和分类稳定性的系统性理解。具体而言，作者识别了固定目标训练方案中存在的一个“轨迹交叉问题”（trajectory crossing problem），即优化轨迹发生相交，导致收敛不稳定且准确率大幅下降。

方法论
作者提出了一个系统性的基准测试框架，用于比较在混合量子-经典 QSVM 流水线中训练 TQFMs 的三种不同损失函数：

距离损失 (Distance Loss, DL)： 基于不同类别混合密度矩阵之间的希尔伯特-施密特（Hilbert-Schmidt）距离。该方法旨在最大化类间分离度，但需要评估所有成对样本的保真度，导致其计算复杂度为 $O(M^2)$ ，其中 $M$ 为数据集大小。
测量损失 (Measurement Loss, ML)： 将每个类别分配给一个固定的正交基态，并最小化编码态与目标态之间的误差。该方法独立评估样本，实现线性复杂度 $O(M)$ 。然而，作者假设强制聚类向受限希尔伯特空间中的固定目标靠拢会导致轨迹交叉。
对数似然损失 (Log-Likelihood Loss, LLL)： 本研究的核心提议。受极大似然估计的启发，该方法将保真度 $|\langle \psi | y \rangle|^2$ 重新解释为条件概率 $P(y|x)$ 。LLL 不仅仅是最小化线性惩罚，而是最小化负对数似然：
$L_{LLL}(\theta) = -\frac{1}{L} \sum_{j=1}^{L} \frac{1}{M_j} \sum_{i=1}^{M_j} \log \left( |\langle \psi(x_i^j, \theta) | y_j \rangle|^2 \right)$
这种形式应用了非线性惩罚，对于预测概率较低的样本，惩罚会迅速增加，从而强调难以分类的样本并提供更强的优化信号。

实验设置
研究使用了 Qiskit 状态矢量模拟器和 EfficientSU2 拟设（ansatz）。实验在三个代表不同非线性和类别复杂度的合成数据集（Moons, Circles, Gaussian）上进行。评估过程包括针对每种配置进行 20 次独立运行以评估统计稳定性，改变电路深度（1 到 6 层），并测试针对模拟去极化噪声和读取噪声的鲁棒性。

关键结果

优化稳定性： ML 方法表现出显著的不稳定性，其特征是“轨迹交叉问题”——即在训练早期（特别是在浅层电路中），类间重叠会激增且准确率下降。LLL 方法成功缓解了这一问题，实现了与 DL 方法相当的稳定收敛，且没有 $O(M^2)$ 的计算代价。
计算效率： DL 保持了最高的分类准确率，但受到 $O(M^2)$ 扩展性的限制，使其在处理大规模数据集时并不实用。ML 和 LLL 均保持了线性 $O(M)$ 的扩展性。LLL 的训练时间与 ML 几乎相同，这证实了其性能的提升并非以增加计算开销为代价。
分类性能：
- DL 在各个数据集上始终获得最高的平均准确率。
- LLL 在稳定性方面显著优于 ML（在多次运行中的准确率标准差更低），并且达到了具有竞争力的平均准确率，在某些情况下（例如 Circles 数据集的 1 层电路）甚至超过了 ML。
- 增加电路深度（变分层）有助于缓解所有方法的轨迹交叉问题，但也引入了权衡：过深的深度会导致过拟合，而不会带来比例相称的测试准确率提升。
噪声鲁棒性： 在模拟噪声模型下，LLL 方法在简单数据集（Moons）上保持了稳健的表现，但在更复杂的数据集（Circles, Gaussian）上表现出预期的性能退化，这与分类任务本身的难度一致。

意义与主张
本文声称，训练目标的设计是决定基于 TQFM 的 QSVM 的可训练性和泛化能力的的关键因素。主要贡献在于引入了对数似然损失（LLL），它为平衡计算效率与优化稳定性提供了一个切实可行的解决方案。

作者断言，LLL 提供了一种“比传统测量损失更稳定的优化行为”，同时保留了线性计算复杂度。该基准测试为平衡可训练性、效率和预测性能提供了实践指导。这项工作并不声称解决了 NISQ 器件的根本局限性，而是针对混合量子分类器的优化阶段提供了一种方法论上的改进。

未来方向
作者指出，目前的框架仍然依赖于经典的 SVM 进行最终决策。他们建议未来的工作应探索完全量子的推理方案，即直接基于测量概率分配标签。此外，有必要进一步研究电路表达能力（参数数量与结构属性的关系）与优化性能之间的关系。

旧老师的问题

新英雄：对数似然损失（Log-Likelihood Loss）

“如果……会怎样”的情景

总结

技术摘要：可训练量子特征映射的损失函数基准测试

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