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Koopman DCM: Unstable Eigenfunctions as Data-driven Representations for Legged Balancing

本文提出了一种数据驱动的方法，利用真实机器人数据将运动发散分量（DCMs）表述为不稳定的库普曼恩（Koopman）特征函数，证明了其在双足平衡中改进步行模式跟踪和可行性约束方面的有效性。

原作者： Stéphane Caron

发布于 2026-07-22

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原作者： Stéphane Caron

原始论文采用 CC BY 4.0 许可（http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/）。 ✨ 这是对下方论文的AI生成解释。它不是由作者撰写或认可的。如需技术准确性，请参阅原始论文。阅读完整免责声明

平衡的艺术：教机器人如何站稳

想象一下，试着在手掌上平衡一根扫帚柄。这是一个经典的派对技巧，但对于机器人来说，这是一项关乎生死存亡的计算。这就是**足式运动（legged locomotion）**的世界——科学家们正在教拥有腿部结构的机器（如双足或四足机器人）如何在行走时不会倒下。核心挑战在于，这些机器人天生是不稳定的；重力总是想把它们拉倒，它们必须不断地与之抗争以保持直立。

为了解决这个问题，工程师通常使用简化的心理模型，比如将机器人想象成一根棍子上的一个质点（即“线性倒立摆”）。在这个简化的世界里，有一个特殊的“魔法数字”，叫做运动发散分量（Divergent Component of Motion, DCM）。你可以把 DCM 想象成一个“倾斜点”指示器。如果你知道 DCM 的位置，你就确切知道机器人正向着倒下的方向倾斜了多少。如果你能控制 DCM，你就能让机器人保持平衡。然而，这些传统的模型就像是“辅助轮”：它们在理论上表现良好，但在捕捉真实机器人于真实地面移动时的混乱、复杂现实方面往往会失效。它们依赖于那些在野外环境中几乎不存在的完美假设。

论文的核心思想：让数据说话

这篇题为《Koopman DCM：作为数据驱动表示的非稳态特征函数用于足式平衡》的论文提出了一个大胆的问题：如果我们不再强迫机器人去适应我们的简化模型，而是让机器人教给我们它自己版本的“倾斜点”会怎样呢？

由 Stéphane Caron 领导的研究团队提出了一种寻找 DCM 的新方法。他们不是根据教科书公式进行计算，而是使用一种叫做 Koopman 算子（Koopman operator） 的数学工具来搜寻“非稳态特征函数（unstable eigenfunctions）”。用通俗的话说，他们是在寻找机器人运动数据中一种特定的模式，这种模式会在机器人开始倒下时迅速增长。他们将这种模式称为“Koopman DCM”。

这里有一个转折：大多数使用 Koopman 算子的科学家都在寻找保持不变或缓慢变化的模式（比如一个持续旋转的陀螺）。但 Caron 的团队刻意寻找了相反的方向——他们寻找的是那些增长最快的模式，即那些大声尖叫着“我要倒了！”的模式。这使得他们能够利用名为“Cookie”的轮式双足机器人一小时的真实数据来训练神经网络。他们不需要完美的物理模型；他们只需要机器人行走、摇晃并自我修正，同时记录下发生的一切。

研究发现：更智能的平衡

结果令人印象深刻。当他们在真实的机器人上测试这种新的数据驱动型 DCM 时，它的表现优于传统的基于模型的算法。

更好的追踪能力： 当被要求遵循一条波浪形的行走路径时，使用学习型 DCM 的机器人犯错更少。在一项测试中，它的路径追踪效果比旧方法好 2.4 倍。
更少的跌倒次数： 他们还在人形机器人（Unitree G1）的模拟环境中进行了测试。当他们在“模型预测控制（Model Predictive Control）”系统（一种能够预判后续步骤的“大脑”）中使用学习到的 DCM 时，机器人在 90 次试验中从未跌倒。相比之下，使用旧方法的机器人在该特定模拟实验中，跌倒率达到了 33%。

该论文表明，通过直接从机器人的自身经验中学习，我们可以创建一个比人工设计的“倾斜点”检测器更准确、更鲁棒的检测器。

局限性：尚未实现“魔法”

尽管结果很强劲，但作者也谨慎地指出，他们并没有过度夸大。他们承认其方法为了保持简单而做了一些特定的假设。例如，他们假设机器人的控制输入（比如轮子推力的大小）对平衡的影响是以一种非常特定的线性方式发生的。在现实且混乱的世界中，这种关系可能更加复杂。他们还指出，虽然该方法在真实世界的轮式机器人上表现出色，但尚未在没有轮子的完整、复杂的步行机器人在真实世界中进行测试。

此外，他们发现的这些“非稳态”模式是针对其收集的数据而言的。如果机器人的腿部结构发生了变化，或者地面变得湿滑，他们可能需要重新收集一小时的数据来重新训练系统。

为什么这很重要

这项工作是迈向“让机器人能够自主学习平衡，而非依赖工程师猜测完美物理方程”的一步。它表明，如果我们给机器人提供正确的工具去倾听自身的运动，即使在混乱且不可预测的世界中，它们也能找到保持直立的方法。这是一种从“教机器人物理规则”到“让机器人发现自身平衡规则”的转变。

技术摘要：Koopman DCM：作为数据驱动表示的非稳定特征函数，用于足式机器人平衡控制

问题陈述
足式机器人的平衡控制在历史上一直依赖于降阶模型，最显著的是线性倒立摆（LIP）模型。在 LIP 框架中，发散运动分量（DCM）作为一个关键的控制坐标，隔离了系统的非稳定模态。然而，现有的 DCM 公式面临两个主要局限性：

模型依赖性： DCM 是针对特定降阶模型（如 LIP）严格定义的，无法自然地扩展到真实机器人的全量非线性动力学。
参数失配： 标准 DCM 公式中使用的自然频率 $\omega = \sqrt{g/h}$ 是从理论质心（CoM）高度 $h$ 推导出来的。这种基于模型的参数往往无法捕捉复杂、真实世界系统的真实动力学，从而导致次优的控制性能。

本文通过将 DCM 重新表述为全系统动力学的 Koopman 特征函数（而非特定降阶模型的属性），并直接从真实机器人数据中学习，解决了这些问题。

方法论
作者提出了一种数据驱动的流水线，用于学习作为不稳定特征函数的“Koopman DCM”。其核心方法论包括：

理论重构：
- 作者将寻找 DCM 的过程构造成一个针对 Koopman 算子的特征函数搜索问题。
- 与通常针对零附近特征值（守恒量）的典型 Koopman 应用不同，这项工作特意搜索具有大正特征值（ $\omega > 0$ ）的不稳定特征对。
- 对于控制仿射系统 $\dot{x} = f(x) + B(x)u$ ，学习到的可观测变量 $\xi$ 被约束为满足线性微分方程 $\dot{\xi} = \omega(\xi - u)$ ，这镜像了 LIP DCM 的结构，但它是从数据中推导出来的。
学习流水线：
- 输入： 系统使用测量-动作历史的延迟嵌入（ $z_k$ ），而非预定义的特征空间。
- 架构： 多层感知器（MLP）用于学习可观测变量 $\xi_\theta$ 。
- 损失函数： 训练目标结合了两个组件，以避免平凡解（即 $\omega \to 0$ $ω \to 0$ 且 $\xi \to 0$ $ξ \to 0$ ）：
  - DCM 动力学损失： 强制执行线性递归 $\xi_{k+1} = e^{\omega \delta t}\xi_k + (1 - e^{\omega \delta t})u_k$ 。
  - CoM 预测损失： 强制执行学习到的 DCM 与质心（CoM）位置之间的关系，确保学习到的可观测变量锚定了稳定的 CoM 动力学。
- 时间扩展： 为了防止在真实数据上收敛到低特征值，作者采用了资格迹（TD( $\lambda$ ) 损失），通过评估编码器对多步预测（而非仅一步残差）的表现来进行训练。
控制应用：
- 真实机器人： 学习到的 DCM 被用于轮式双足机器人（Cookie）的比例反馈回路中，以追踪零力矩点（ZMP）参考值。
- 仿真（MPC）： 学习到的 DCM 作为人形机器人（Unitree G1）中的状态变量用于模型预测控制（MPC）框架。DCM 动力学被用于构建可行性约束（确保机器人保持在支撑多边形内），并作为硬约束在优化中执行。

核心贡献

重构 DCM： 本文将发散运动分量（DCM）重新定义为不稳定的 Koopman 特征函数，将其概念推广到了降阶模型之外。
数据驱动训练： 提出了一种新的流水线，可以直接从闭环测量-动作数据中学习这些特征函数，而无需预定义的降阶运动学模型。
真实机器人部署： 该方法被部署在物理双足机器人上，证明了与基于模型的基准方案相比，其在行走模式追踪方面具有改进。
可行性约束： 作者展示了如何将学习到的 DCM 集成到 MPC 中以执行基于状态的可行性约束，从而提高仿真中的稳定性。

结果

真实机器人表现（Cookie 双足机器人）：
- 系统使用 1 小时的真实机器人数据进行训练。
- 在正弦参考值的 ZMP 追踪实验中，学习到的 DCM（延迟时界 $H=10$ ）显著优于运动学 LIP 基准。
- 具体而言，在振幅为 0.2 时，学习到的 DCM 实现了 0.05 的均方根误差（RMSE），而运动学基准为 0.12（提升了 2.4 倍）。
- 学习到的控制器在各种振幅和周期下均能一致地降低追踪误差。
仿真表现（Unitree G1）：
- 在侧向平衡仿真中，使用学习到的 DCM 构建的 MPC 控制器在 90 次试验中实现了 0% 的跌倒率。
- 相比之下，在相同的挑战性条件下，比例 DCM 控制器（未使用学习到的特征函数约束）导致了 33% 的跌倒率（90 次试验中 30 次跌倒）。
- MPC 方法也降低了 ZMP 追踪误差（0.59 对比 0.73）。

意义与主张
本文声称，通过将 DCM 视为数据驱动的 Koopman 特征函数，可以绕过降阶模型的局限性。其主要意义在于能够：

学习特定系统的动力学： 该方法直接从数据中捕捉机器人的真实不稳定模态，而不是依赖于诸如质心高度之类的理论参数。
实现鲁棒控制： 学习到的可观测变量为反馈控制和可行性分析提供了更准确的状态表示。
避免从仿真到现实（Sim-to-Real）的迁移问题： 由于该流水线直接在真实机器人的闭环数据（或高保真模拟器）上进行训练，因此避开了通常在模拟环境中训练并在硬件上部署时面临的领域适应挑战。

作者对研究范围保持了审慎态度，指出目前的公式假设了特定的线性输入耦合（ $\dot{\xi} = \omega(\xi - u)$ ），未来的工作可以探索更通用的双线性动力学或变高模型。