Self-dual double cyclic codes over $\mathbb{F}_q$

技术摘要：$\mathbb{F}_q$ 上自对偶双循环码

问题陈述
本文研究了有限域 $\mathbb{F}_q$ 上自对偶双循环码的结构性质、存在条件及构造方法。经典的循环码作为多项式环 $\mathbb{F}_q[x]/\langle x^n - 1 \rangle$ 中的理想已被充分研究，而双循环码将这一概念推广到长度为 $n = r + s$ 的码字，其中 $n$ 被划分为两个长度分别为 $r$ 和 $s$ 的段，每一段在循环移位下保持不变。当一个双循环码等于其对偶码（即 $C = C^\perp$）时，被称为自对偶的双循环码。本文解决的主要挑战是表征此类码存在的充分必要条件，并针对特定的长度配置提供显式的构造方法，特别是区分可分与不可分的情况。

方法论
作者利用基于多项式环 $\mathbb{F}_q[x]$ 模理论的代数方法进行研究。

1. 结构表征： 本文确定了长度为 $(r, s)$ 的双循环码是 $F_{q,r,s} := \mathbb{F}_q[x]/\langle x^r - 1 \rangle \times \mathbb{F}_q[x]/\langle x^s - 1 \rangle$ 的 $\mathbb{F}_q[x]$-子模。研究表明，任何此类码都由两对多项式 $(b(x), 0)$ 和 $(l(x), a(x))$ 生成，其中 $b(x) \mid (x^r - 1)$ 且 $a(x) \mid (x^s - 1)$。
2. 对偶码分析： 通过定义一个涉及互逆多项式的特定正交运算 $\circ$，作者推导出了关于生成元 $a(x), b(x), l(x)$ 的对偶码生成多项式。
3. 自对偶条件： 条件 $C = C^\perp$ 被转化为涉及生成元 $a(x), b(x), l(x)$ 及其互逆多项式的代数方程组。具体而言，若令 $d(x) = \gcd(b(x), l(x))$，则自对偶要求：
   • $d(x)b^*(x) = x^r - 1$
   • $a(x)a^*(x)\beta(x) = x^s - 1$ （其中 $b(x) = d(x)\beta(x)$）
   • $\beta(x)$ 整除 $1 - \lambda(x)\lambda^*(x)$ （其中 $l(x) = d(x)\lambda(x)$）
4. 特定情况分析： 本文分析了三种特定的长度配置：
   • 长度 $(r, r)$： 研究非可分情况，即该码不是两个循环码的直积。
   • 长度 $(r, 2r)$ 与 $(2r, r)$： 探索与负循环码（negacyclic codes）的联系。
   • 长度 $(r, s)$ 且 $\gcd(r, s) = 1$： 分析互素情况。

主要贡献与结果

• 一般表征（定理 3.4）： 本文提供了由 $(b(x), 0)$ 和 $(l(x), a(x))$ 生成的双循环码为自对偶的充要条件。这些条件将生成元与 $x^r - 1$ 和 $x^s - 1$ 的分解联系起来，并对多项式 $\lambda(x)$ 施加了约束。

• 长度 $(r, r)$：

  • 存在性： $\mathbb{F}_q$ 上长度为 $(r, r)$ 的不可分自对偶双循环码存在的充要条件是 $-1$在$\mathbb{F}_q$中是平方数，且存在非恒定多项式$f(x)$使得$f(x)f^*(x)$整除$x^r - 1$。
  • 含义： 这意味着此类码在 $p \equiv 3 \pmod 4$ 且 $i$ 为奇数的 $\mathbb{F}_{p^i}$ 上不存在。
  • 等价性： 作者指出，长度为 $(r, r)$ 的双循环码等价于长度为 $2r$ 的 2-准循环码（2-quasi-cyclic codes）。
  • 示例： 文中提供了 $\mathbb{F}_2$ 上长度为 $(7,7)$、$\mathbb{F}_4$ 上长度为 $(3,3)$ 以及 $\mathbb{F}_5$ 上长度为 $(5,5)$ 的显式构造，其中部分被识别为最优码。

• 长度 $(r, 2r)$ 与 $(2r, r)$：

  • 特征 2： 对于特征为 2 的域，此类码存在的充要条件是 $r$ 为偶数。
  • 奇特征： 对于奇特征域，存在性需要满足三个条件：$-2$是$\mathbb{F}_q$中的平方数，$r$能被 4 整除，且$x^r - 1$ 的特定多项式分解条件成立。
  • 联系： 这些码被证明与自对偶负循环码有关。
  • 示例： 提供了 $\mathbb{F}_3$ 上长度为 $(8, 16)$ 和 $(16, 8)$ 的构造。

• 长度 $(r, s)$ 且 $\gcd(r, s) = 1$：

  • 存在性： 对于互素的 $r$ 和 $s$，不可分自对偶码仅在 $r$ 和 $s$ 均为奇数时存在。构造依赖于寻找多项式 $d(x)$ 和 $a(x)$，使得对于某个 $\alpha \in \mathbb{F}_q$，$-\alpha d(x)d^*(x) = 1 + x + \dots + x^{r-1}$ 且 $\alpha a(x)a^*(x) = 1 + x + \dots + x^{s-1}$。
  • 示例： 为 $\mathbb{F}_3$ 上长度为 $(9, 11)$、$\mathbb{F}_4$ 上长度为 $(7, 9)$ 以及 $\mathbb{F}_7$ 上长度为 $(7, 9)$ 的码提供了显式构造。

意义与主张
本文声称提供了一个理解自对偶双循环码的综合框架。其主要意义在于：

1. 统一表征： 提供了一套适用于任何长度 $(r, s)$ 和任何有限域 $\mathbb{F}_q$ 的自对偶性的一般充分必要条件。
2. 显式构造： 超越了理论存在性，为各种特定情况提供了具体的构造方法和显式的多项式生成元。
3. 最优性： 证明了在若干示例中，构造的码达到了其相应参数下的最优最小距离。
4. 理论联系： 强调了自对偶双循环码与其他已建立类别的关系，特别是长度为 $(r, r)$ 的自对偶 2-准循环码，以及长度为 $(r, 2r)$ 和 $(2r, r)$ 的自对偶负循环码。作者认为这些联系在理论上可以辅助构造其他类别的码。

作者保持了适度的研究范围，侧重于这些码的代数表征与构造，而未提出新的实验应用或超出所述理论联系之外的未来影响。