Beyond Stoner-Wohlfarth: Machine-Learning Models and Symbolic Regression of Hard-Magnet Properties

技术摘要：超越 Stoner–Wohlfarth：硬磁特性的机器学习模型与符号回归

问题陈述
从内在微磁参数（饱和磁化强度 $M_s$、交换常数 $A$ 和单轴各向异性常数 $K$）预测永磁体的外在磁学性能（特别是矫顽场 $H_c$、剩磁 $M_r$ 和最大磁能积 $BH_{max}$）是材料科学中的一个基本挑战。虽然既有的解析模型（如 Stoner–Wohlfarth 和 Kronmüller 模型）提供了有用的估算，但它们往往无法解释非均匀磁化过程和微观结构的复杂性。相反，直接进行微磁模拟虽然能捕捉这些细节，但计算成本极高，通常每个参数集需要耗费数小时甚至数天，从而阻碍了材料的快速探索与优化。

研究方法
作者通过对 12,012 个理想化孤立立方晶粒（边长 50 nm）的微磁模拟数据集进行训练，填补了这一空白。模拟过程使用 MaMMoS-MuMag 代码（一种基于 JAX 的有限元求解器）在广泛的内在参数范围内进行：

• $M_s$: $7.96 \times 10^4$ 至 $3.98 \times 10^6$ A/m
• $A$: $10^{-13}$ 至 $10^{-11}$ J/m
• $K$: $10^4$ 至 $10^7$ J/m³
  数据集经过筛选以确保物理有效性（例如，排除交换长度或磁畴壁宽度小于 1 nm 网格尺寸的情况），并剔除了在应用磁场范围内未发生磁化翻转的模拟样本。最终得到 9,957 个有效的训练样本。

本研究采用了多阶段方法：

1. 分类： 使用 k-means 聚类算法根据归一化剩磁（$M_r/M_s$）区分“硬”磁和“软”磁机制。
2. 前向建模： 训练了五种机器学习架构（线性回归、LASSO、随机森林、高斯过程和全连接神经网络），用于根据 $M_s$、$A$ 和 $K$ 预测 $H_c$、$M_r$ 和 $BH_{max}$。
3. 符号回归： 利用 PySR 库寻找能够拟合模拟数据的闭式解析表达式，旨在恢复具有物理可解释性的规律。
4. 逆向建模： 将映射过程反转，通过外在输出（$H_c$、$M_r$、$BH_{max}$）来预测内在参数（$M_s$、$A$、$K$）。

主要贡献与结果

• 卓越的预测精度： 在留出的测试集上，通过与解析模型进行基准测试发现，机器学习模型显著优于传统的解析方法。随机森林（RF）和高斯过程（GP）模型的表现最优。对于矫顽场，$RF$ 将均方根误差（RMSE）从 195 kA/m（拟合的 Kronmüller 模型）降低至 92 kA/m，而 $GP$ 则达到了 18 kA/m。在 $M_r$ 和 $BH_{max}$ 方面也观察到了类似的提升。
• 符号回归的发现： 符号回归成功恢复了用于矫顽场的 Kronmüller 形式，但带有一个新颖的改进：发现有效退磁因子（$N_{eff}$）是材料属性的函数，而非常数。具体而言，推导出的定律为 $H_c = [\alpha - n \ln \tilde{L}/\kappa] H_A$，其中 $\tilde{L}$ 是缩减后的晶粒尺寸，$\kappa$ 是磁硬度参数。作者还发现了新的 $M_r$ 和 $BH_{max}$ 闭式表达式，这些表达式包含了基于晶粒尺寸和各向异性的修正项，这在标准文献中并未出现。这些包含最多两个拟合常数的符号定律，其精度接近机器学习代理模型。
• 特征重要性与逆问题： 分析表明，$M_s$ 和 $K$ 是决定外在性能的主导因素，而交换常数 $A$ 的影响较弱。因此，逆向问题（从外在参数恢复内在参数）能够准确恢复 $M_s$ 和 $K$，但在准确恢复 $A$ 方面失败了。作者将其归因于物理现实，即 $A$ 对磁滞回线的直接影响非常微弱，导致仅凭三个外在指标无法对其进行唯一约束。
• 计算效率： 训练好的流水线通过 mammos-ai Python 包发布，能够实现秒级筛选数千个候选参数集。与直接进行微磁模拟（在 GPU 上每个样本约需 147 分钟）相比，这实现了超过三个数量级的加速。

意义与范围
本文声称提供了一个稳健的数据驱动框架，用以架起内在材料参数与外在磁性能之间的桥梁。通过将高精度的机器学习代理模型与具有可解释性的符号回归相结合，这项工作既提供了预测能力，又提供了物理洞察，在恢复既定解析形式的同时，识别出了必要的修正项。

作者明确限定了其研究范围仅限于理想化的孤立立方晶粒，且磁场沿易磁化轴方向。他们承认真实材料涉及微观结构缺陷、晶界、取向偏差以及热激活效应，而这些在他们的模型中是缺失的。因此，这些模型预测的是理想无缺陷晶粒的性能；模型与实验测量值之间的差异归因于这些缺失的微观结构因素。该工作的核心用途是快速筛选候选参数集，以指导更深入的详细研究，或理解理想晶粒性能的根本极限。作者已将模型和定律开源，以促进此类快速探索。