Revisiting Stress Analysis in a Three-Dimensional Elastic Hollow Sphere under Uniaxial Compression via the Inverse Laplace Transform Expressions within an Elastodynamic Framework

技术摘要：重新审视单轴压缩下三维弹性空心球体的应力分析

问题陈述
本研究探讨了在单轴压缩作用下，三维弹性空心球体的应力分析问题。虽然经典弹性理论中关于实心球体在类似载荷下的行为已有详尽记载，且针对圆柱体和球体的动力学分析也已存在，但关于空心球体的全面、显式闭式解（closed-form solutions）在文献中仍存在空白。以往的研究（如 Kasano 等人的工作）虽然涉及了空心球体，但其确定位移和应力系数的方式为增量形式，缺乏清晰度和实用性。本文旨在填补这一空白，通过推导位移和应力系数的显式解析表达式，从而增强对多孔或空心球形结构应力行为的理论理解。

方法论
作者采用弹性动力学框架对系统进行建模。该问题由一个具有外半径 $R_o$ 和内半径 $R_i$、特征质量密度为 $\varrho_0$、剪切模量为 $G$ 以及泊松比为 $\nu$ 的弹性空心球体定义。该球体受到沿直径方向作用的压力 $\sigma_0$ 定义的单轴压缩。

求解过程包括以下步骤：

1. 控制方程： 使用赫姆霍兹定理（Helmholtz theorem）求解无量纲纳维-柯西方程（Navier-Cauchy equation），该定理将位移矢量分解为标量势（$\varphi$）和矢量势（$\chi$）。
2. 拉普拉斯变换： 将势函数变换到拉普拉斯域。解使用第一类和第二类修正球面贝塞尔函数（$i_n$ 和 $k_n$）以及勒让德多项式（$P_n$）进行展开。
3. 边界条件： 通过满足内表面和外表面的边界条件来确定展开系数。这产生了一个联立方程组，其解提供了关于贝塞尔函数和材料参数的关于行列式的显式表达式，用于确定系数 $a_n, b_n, c_n$ 和 $d_n$。
4. 静态极限： 为了获得静态解，作者对逆拉普拉斯变换表达式应用终值定理。这使得在时间参数趋于无穷大时，能够推导出静态位移和应力分量的显式无穷级数。
5. 数值实现： 对无穷级数的收敛性进行了分析，结果表明即使在靠近内表面处，截断极限 $N_{max} = 1000$ 也足以保证计算精度。

主要结果
研究推导了无量纲径向和切向位移（$\tilde{u}_\rho, \tilde{u}_\theta$）以及应力分量（$\tilde{\sigma}_{\rho\rho}, \tilde{\sigma}_{\rho\theta}, \tilde{\sigma}_{\theta\theta}, \tilde{\sigma}_{\phi\phi}$）的显式级数表达式。主要发现包括：

• 应力集中： 在加载点（极点）附近，变形量和第二主应力差显著增强。
• 与实心球体的比较： 在加载轴（$\theta=0$）上，空心球体的压缩应力在体区内的行为与实心球体相似，但随着接近内表面而急剧下降。相反，在中间区域，其拉伸应力低于实心球体，但在靠近内直径处会显著增加。
• 内表面行为： 在内表面（$\rho = \rho_i$）处，环向应力 $\tilde{\sigma}_{\theta\theta}$ 在 $\theta$ 介于 0 和 $\pi/2$ 之间（具体为压缩力与表面点之间的夹角变为垂直时）表现出明显的峰值。随着内半径的增大，该峰值变得更加显著。
• 薄壳极限： 在壳厚度较小（$\delta \ll 1$）的极限情况下，径向位移和应力分量近似按 $(1 - \rho_i)^{-1}$ 进行缩放，这与薄壳理论的预期一致。

意义与主张
作者声称，这项工作为理解和预测弹性空心球体在单轴载荷下的机械行为提供了一种稳健的解析方法。通过从增量形式转向显式闭式表达式，本研究为以下方面提供了实用的工具：

• 简化多孔结构的计算建模。
• 辅助设计具有定制机械性能的材料。
• 提高工程应用中涉及空心或多孔球形几何结构的失效预测精度。

文章得出结论，这些发现有助于深化对复杂内部几何结构应力分布的理解。作者指出，虽然目前的研究重点是静态解，但推导出的逆拉普拉斯变换表达式可以扩展到动力学问题，以分析波传播现象（纵波、横波和瑞利波），尽管此类动力学分析需要复杂的留数计算以及基于时间和位置的分类讨论。