The logarithmic $p$-Laplacian on hyperbolic spaces

技术摘要：双曲空间上的对数 $p$-拉普拉斯算子

问题陈述
本文研究了在 $n$ 维双曲空间 $\mathbb{H}^n$（$n \ge 2$）上对数 $p$-拉普拉斯算子 $\log(-\Delta_{\mathbb{H}^n})_p$ 的定义与特征化。虽然欧几里得空间 $\mathbb{R}^n$ 中的对数拉普拉斯算子 $\log(-\Delta)$ 以及欧几里得和双曲空间中的分数 $p$-拉普拉斯算子 $(-\Delta)_p^s$ 此前已有研究，但在双曲设置下，对应于分数 $p$-拉普拉斯算子关于阶数 $s$ 在 $s=0$ 处的导数的特定算子尚未被建立。作者旨在通过严格定义该算子，提供逐点积分表示，并将其特征化为特定扩张问题的解。

方法论
作者结合了对称空间上的调和分析、积分核的渐近分析以及扩张技术。

1. 定义与设置： 双曲空间 $\mathbb{H}^n$ 被建模为 $\mathbb{R}^{n+1}$ 中洛伦兹度规诱导的超曲面部分的上限分支。分数 $p$-拉普拉斯算子 $(-\Delta_{\mathbb{H}^n})_p^s$ 通过涉及特定核 $K_{n,s,p}(\rho)$ 的奇异积分来定义，其中 $\rho$ 是双曲距离。该核涉及第二类修正贝塞尔函数 $K_\nu$。
2. 极限分析 ($s \to 0^+$)： 为了定义对数算子，作者分析了当 $s \to 0^+$ 时分数算子的极限。他们证明了对于函数 $f \in C_c(\mathbb{H}^n) \cap \text{Lip}_{\text{loc}}^\alpha(\mathbb{H}^n)$，极限 $\lim_{s\to 0^+} (-\Delta_{\mathbb{H}^n})_p^s f(x)$ 收敛于常数倍的 $\Phi_p(f(x)) = |f(x)|^{p-2}f(x)$。这为将对数算子定义为如下导数建立了必要的归一化：
   $$\log(-\Delta_{\mathbb{H}^n})_p f(x) = \lim_{s\to 0^+} \frac{(-\Delta_{\mathbb{H}^n})_p^s f(x) - A_{n,p}\Phi_p(f(x))}{s}$$
3. 核分解与渐近性： 证明过程高度依赖于核 $K_{n,s,p}$ 的显式结构。作者利用引理 2.1 将作用在这些核上的微分算子分解为涉及 $\sinh \rho$ 和 $\cosh \rho$ 多项式的和。他们对这些核在 $s \to 0^+$ 以及距离 $\rho \to \infty$ 时进行了详细的渐近估计，并区分了奇数维（$n=2m+1$）和偶数维（$n=2m$）的情况。
4. 扩张问题： 作者使用 $\mathbb{H}^n \times (0, \infty)$ 上的泊松型核 $P_n(\rho, t)$ 定义了一个扩张算子 $E_n$。他们证明了对数算子可以通过观察该扩张在 $t \to 0^+$ 时的行为来恢复。

主要贡献与结果

• 定义与存在性（定理 1.1）： 本文确立了正数常数 $A_{n,p}$ 的存在性，使得分数 $p$-拉普拉斯算子在 $s \to 0^+$ 时的极限产生 $A_{n,p}\Phi_p(f(x))$。这使得严格定义 $\log(-\Delta_{\mathbb{H}^n})_p$ 成为可能。
• 逐点积分表示（定理 1.2）： 作者推导出了该算子的两种不同的逐点积分表示：
  • 一种表示取决于函数的支撑半径 $R$，涉及项 $(\alpha_{n,p} + \beta_{n,p} \log R)\Phi_p(f(x))$ 以及对支撑球的积分。
  • 第二种更具内蕴性的表示将积分分为局部部分（在单位球 $B(x,1)$ 上）和非局部部分（在补集上），通过减去无穷远处的奇异性来确保收敛。
• 扩张特征化（定理 1.3）： 一个主要结果是将 $\log(-\Delta_{\mathbb{H}^n})_p$ 实现为扩张问题的解。具体而言，该算子是通过将扩张算子 $E_n$ 作用于特定的非线性差分，并经由 $t$ 中的对数项和常数项修正后，在 $t \to 0^+$ 时的极限得到的。
• 欧几里得扩张（定理 1.4）： 通过改编用于双曲情况的论证，作者证明了欧几里得对数 $p$-拉普拉斯算子 $\log(-\Delta)_p$ 也可以被特征化为 $\mathbb{R}^n$ 中相应扩张问题的解。

意义与主张
作者声称，虽然欧几里得空间中的对数 $p$-拉普拉斯算子已在 [7] 中定义并提供了积分表示，但该算子作为扩张问题解的特征化在欧几里得情形下此前尚未建立。作者指出，他们的研究方法通过提供 $\mathbb{R}^n$ 的这种扩张特征化，完善了 [7] 中的结果。

此外，本文首次在双曲空间的背景下引入了算子 $\log(-\Delta_{\mathbb{H}^n})_p$。这些结果将已知的分数算子理论从非紧致对称空间（特别是 $\mathbb{H}^n$）扩展到了对数领域，为在谱为连续而非离散的几何设置中分析非局部算子提供了工具。这项工作依赖于并扩展了先前关于双曲设置下分数 $p$-拉普拉斯算子的研究 ([11]) 以及流形上分数拉普拉斯算子的扩张问题研究 ([9])。