技术摘要：关于 $q > n$ 时 $q$ 阶对偶拟测度（Dual Quermassintegrals）的 Brunn-Minkowski 不等式

1. 问题陈述与背景

本文研究了当指数 $q$ 超过维度 $n$ 时，$q$ 阶对偶拟测度 $\widetilde{V}_q(K)$ 的 Brunn-Minkowski 不等式的有效性。对于包含原点的星形体 $K$，对偶拟测度定义为：
$$\widetilde{V}_q(K) = \frac{1}{n} \int_{S^{n-1}} \rho_K(u)^q \, du = \frac{q}{n} \int_K |x|^{q-n} \, dx,$$
其中 $\rho_K$ 是径向函数。由 Sadovsky 和 Zhang [23] 提出的核心问题是，在各种对称性假设下（任意、关于原点对称或无条件对称），不等式
$$\widetilde{V}_q(K+L)^{1/q} \geq \widetilde{V}_q(K)^{1/q} + \widetilde{V}_q(L)^{1/q}$$
对于 $q > n$ 是否成立。

虽然该不等式在 $0 < q \leq n$ 时已知成立（其中 $q=n$ 为经典的 Brunn-Minkowski 不等式），但对于 $q > n$ 的行为仍是一个开放问题。此前，Xu 和 Yang [28] 已证明在关于原点对称的类中，当 $q > 2n+1$ 时不等式失效。本文旨在确定失效的精确阈值，并在特定的几何类中建立正向结果。

2. 研究方法

作者结合了变分分析、降维技术和加权几何不等式。

2.1. 变分分析与二阶变分

负面结果的核心在于分析测度 $\mu_q(K) = \int_K |x|^{q-n} dx$ 的局部 $1/q$-凹性。利用从 Kolesnikov-Milman [17] 导出的加权二阶变分公式（引理 2.1），作者测试了欧几里得球 $B^n_2$ 在扰动下的稳定性。

• 任意集合： 他们测试了奇扰动（一阶球面调和函数）。如果 $q > n$，二阶变分为正（表明局部凸性，从而导致不等式失效）。
• 关于原点对称的集合： 他们测试了偶扰动。局部稳定性阈值被发现为 $q \leq 2n+1$，但这被证明不足以保证全局有效性。

2.2. 降维

为了构造关于原点对称集合的全局反例，作者利用了降维论证。他们考虑形式为 $K_\epsilon = A \times [-\epsilon, \epsilon]^{n-2}$ 的集合，其中 $A$ 是一个平面凸体。当 $\epsilon \to 0$ 时，$n$ 维参数 $q$ 有效地降维为平面参数 $Q = q - n + 2$。

• 通过分析平面矩形，他们表明如果 $Q > 4$，则不等式失效，这对应于 $q > n + 2$。
• 这种构造桥接了局部稳定性阈值与全局失效阈值之间的差距。

2.3. 奇异加权 Reilly 公式与 Hardy 不等式

对于正向结果，特别是对于无条件凸集合，作者开发了一个奇异加权 Reilly 公式（命题 6.5）。

• 他们求解了算子 $L_\alpha = \Delta + \alpha \frac{x}{|x|^2} \cdot \nabla$（其中权重为 $|x|^\alpha$，$\alpha = q-n$）的奇异 Neumann 问题。
• 他们推导了解在原点附近的渐近展开（引理 6.3）以处理奇异性。
• 至关重要的是，他们建立了针对 $\alpha$ 符号定制的坐标切片 Hardy 型不等式（引理 7.1 和 7.3）。这些不等式控制了 Reilly 公式中不利的项，使他们能够证明特定能量泛函 $I_\alpha(u)$ 在 $-n < \alpha \leq 1$（即 $0 < q \leq n+1$）时的非负性。

3. 核心贡献与结果

3.1. 任意集合范围的锐度

定理 1.3： 对于任意凸集合，只要 $q > n$，不等式即失效。

• 方法： 作者通过用一阶球面调和函数扰动欧几里得球，构造了光滑且严格凸的集合。此时 $\widetilde{V}_q(K)^{1/q}$ 的二阶变分为正，违反了所需的凹性。

3.2. 关于原点对称集合的反例

定理 1.4： 对于关于原点对称的凸集合，只要 $q > n + 2$，不等式即失效。

• 方法： 利用降维到平面矩形的论证，他们表明对于 $Q = q - n + 2 > 4$，函数 $t \mapsto \widetilde{V}_q(K_t)^{1/q}$ 在 $t=0$ 处是局部凸的，从而导致 Brunn-Minkowski 不等式的严格违反。这改进了此前 $q > 2n+1$ 的界限。

3.3. 端点 $q = n + 2$ 的正向结果

定理 1.5： 对于关于原点对称的凸集合，不等式在端点 $q = n + 2$ 处成立。

• 方法： 作者通过恒等式 $I(K) = \frac{n}{n+2} \widetilde{V}_{n+2}(K)$ 将 $\widetilde{V}_{n+2}(K)$ 与极惯性矩 $I(K)$ 联系起来（对于关于原点对称的集合）。随后，他们调用了关于极惯性矩的 Hadwiger 不等式 [10]，该不等式指出 $I(K+L)^{1/(n+2)} \geq I(K)^{1/(n+2)} + I(L)^{1/(n+2)}$。

3.4. 无条件凸集合的全范围

定理 1.6： 对于无条件凸集合（在坐标反射下保持不变），不等式在全范围 $0 < q \leq n + 1$ 内成立。

• 方法： 这是本文主要的数学技术成就。通过结合奇异加权 Reilly 公式与坐标切片 Hardy 不等式，他们证明了无条件集合中测度 $\widetilde{V}_q$ 的局部 $1/q$-凹性。
• 等号情况： 若 $K, L$ 属于 $C^2_+$ 类，当且仅当 $K$ 与 $L$ 为彼此的膨胀时，等式成立。

3.5. 对偶曲率测度的唯一性

作为应用，作者推导了 $(1, q)$ 阶对偶曲率测度 $\widetilde{C}_{1,q}$ 的唯一性结果。

• 推论 8.4： 对于无条件 $C^2_+$ 集合，若 $\widetilde{C}_{1,q}(K, \cdot) = \widetilde{C}_{1,q}(L, \cdot)$ 且 $0 < q \leq n+1$，则 $K=L$（除非 $q=1$，此时它们为彼此的膨胀）。
• 推论 8.5： 对于关于原点对称的 $C^2_+$ 集合，若 $\widetilde{C}_{1,n+2}(K, \cdot) = \widetilde{C}_{1,n+2}(L, \cdot)$，则 $K=L$。

4. 意义与主张

本文声称解决了 Sadovsky 和 Zhang [23] 提出的问题 1.2，即确定了 $q > n$ 范围内对偶拟测度 Brunn-Minkowski 不等式的精确边界。

• 对全局有效性的反驳： 文中证明了该不等式并不适用于 $q > n$ 的一般集合，也不适用于 $q > n+2$ 的关于原点对称集合，从而有效地缩小了关于原点对称集合的开放范围至 $n < q \leq n+2$。
• 猜想： 作者提出了 猜想 1，认为不等式可能在剩余的间隙 $n < q < n+2$ 内对于关于原点对称的集合成立。
• 无条件情况： 本文为无条件集合提供了一个确定的正向回答，将有效范围扩展到了 $q = n+1$。这是通过一种受 Hu-Ivaki [12] 启发并扩展到覆盖全范围 $0 < q \leq n+1$ 的新型奇异加权 Reilly 公式实现的。
• 应用： 这些结果直接产生了关于指定类别的 Minkowski 型不等式和对偶曲率测度的唯一性定理，解决了 Sadovsky 和 Zhang 关于等号情况的第 9 个问题。

这项工作强调了指数 $q$、集合的对称性以及几何结构（无条件 vs. 一般）之间微妙的相互作用，表明虽然对称性有所帮助，但对于所有 $q > n$ 的情况，它不足以保持不等式的成立。