Stochastic Homogenization of Non-local Hamilton-Jacobi-Bellman equations

技术摘要：非局部 Hamilton-Jacobi-Bellman 方程的随机同质化

问题陈述
本文研究了平稳遍历随机介质中非局部 Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) 方程的随机同质化。所研究的具体方程为：
$$\begin{cases} \partial_t u^\epsilon(t, x) = \epsilon^{\alpha-1} \mathcal{L} u^\epsilon(t, x) + H\left(\nabla u^\epsilon(t, x), \frac{x}{\epsilon}, \omega\right), & (t, x) \in [0, \infty) \times \mathbb{R}^n, \\ u^\epsilon(0, x) = u_0(x), & x \in \mathbb{R}^n, \end{cases}$$
其中 $\alpha \in (1, 2)$，$\omega$ 代表概率空间 $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ 中的一个元素，$H$ 是一个具有快速随机振荡的凸且超线性增长的 Hamiltonian。算子 $\mathcal{L}$ 是一个由形式为 $K(\hat{y})|y|^{-n-\alpha}dy$ 的 Lévy 测度定义的非局部积分微分算子，其中 $K$ 是单位球面上一个光滑、非负、偶函数且一致非退化的函数。该算子作为 $\alpha$-稳定型跳跃扩散过程的无穷小生成元。

目标是证明当 $\epsilon \to 0$ 时，$u^\epsilon$ 局部一致地（几乎处处）收敛到确定性同质化方程的解 $u$：
$$\begin{cases} \partial_t u(t, x) = \bar{H}(\nabla u(t, x)), \\ u(0, x) = u_0(x), \end{cases}$$
其中 $\bar{H}$ 是一个确定的、凸的有效 Hamiltonian，其不依赖于空间变量 $x$ 和随机参数 $\omega$。

方法论
作者将 Kosygina, Rezakhanlou, 和 Varadhan (CPAM 2006) 为带有消失拉普拉斯项的局部 HJB 方程开发的数学方法，改编并应用于涉及跳跃扩散的非局部设定。该方法论依赖于三大支柱：

1. 随机最优控制表示： $u^\epsilon$ 的解可以通过由跳跃扩散过程驱动的随机控制问题来表示。作者建立了一种方法，将非局部算子 $\mathcal{L}$ 重写为“散度形式” $\mathcal{L}u = \nabla \cdot (\mathcal{R}\nabla u)$，其中 $\mathcal{R}$ 是一个正则积分算子。这种结构化特征对于处理同质化过程中的非局部项至对于处理同质化过程中的非局部项至关重要。

2. 环境过程与有效 Hamiltonian： 遵循文献 [24] 的方法，作者将跳跃扩散过程从物理空间 $\mathbb{R}^n$ 提升到概率空间 $\Omega$，以定义“环境过程” $\theta_t$。利用该过程的遍历性，他们定义了有效拉格朗日量 $\bar{L}$，并随后通过涉及环境过程不变测度的变分公式定义了有效 Hamiltonian $\bar{H}$。

3. 近似超校正器： 为了建立收敛的上界（困难的方向），作者构造了近似超解（超校正器）。这涉及寻找一个随机向量场 $v$，使得一个特定的不等式关于非局部散度算子 $J$ 和 Hamiltonian 成立：
   $$Jv(\omega) + H(p + v(\omega), \omega) \leq \bar{H}(p).$$
   校正器的构造是主要的数学创新点，需要处理非局部算子的奇异性以及缺乏标准椭圆正则性的问题。

主要贡献与结果

• 主定理 (Theorem 1.1)： 在标准的平稳遍历假设和凸性/超线性增长条件（假设 A）下，本文证明了 $u^\epsilon$ 几乎处处局部一致地收敛到 $u$。该结果在以下两种附加技术假设之一成立：

  • 假设 (B)： 关于 Hamiltonian $H$ 的特定凸性-连续性条件（与变量分离相关）。
  • 假设 (C)： 要求 Hamiltonian 的增长指数 $\beta$ 满足 $\beta > n$，从而允许应用 Sobolev 嵌入定理。

• 散度形式特征化： 本文明确地将非局部算子 $\mathcal{L}$ 表征为作用在梯度上的正则积分算子的散度（第 2.2 节）。这种表示法 $\mathcal{L} = J \circ \nabla = \nabla \cdot \mathcal{R} \circ \nabla$ 对于在随机环境中定义校正器是必不可少的。

• 正则性估计： 作者推导了关于空间和时间的解 $u^\epsilon$ 的显式正则性估计，显示了其对 $\epsilon$ 的依赖关系（定理 4.1）。这些估计被用于将逐点收敛升级为局部一致收敛。

• 非局部情况下的超校正器构造： 文中详细描述了非局部情况下近似超校正器的构造。与通常通过 PDE 方法构造校正器的局部情况不同，此处作者利用了随机变量空间上的凸分析和软化技术来处理非局部算子 $J$。

意义与主张
本文声称是第一篇解决在平稳随机环境中具有消失非局部项的非局部 HJB 方程随机同质化的著作。

• 现有理论的扩展： 本工作将 Kosygina, Rezakhanlou, 和 Varadhan [24] 关于局部（扩散）设置的开创性结果扩展到了非局部（跳跃扩散）设置。
• 方法论的改编： 它证明了最初为消失拉普拉斯项设计的控制表示和环境过程技术可以成功地适配到跳跃过程。作者指出，虽然近年来已有关于非局部 HJB 方程粘性解的研究（例如 [6, 17, 13]），但他们的方法主要依赖于随机控制表示和抽象环境过程，而非深层的粘性解理论。
• 范围与局限性： 作者保持了适度的研究范围，专注于定性同质化。他们明确指出，他们没有讨论收敛速率（这在局部情况下也被认为是困难的），也没有讨论动态随机环境（时间相关系数）的情况，尽管他们认为这些是未来工作的自然方向。该结果仅限于非局部项随 $\epsilon \to 0$ 而消失（$\epsilon^{\alpha-1} \mathcal{L}$）的情形。

总而言之，本文为由跳跃扩散驱动的非局部 HJB 方程的同质化建立了严谨的基础，架起了跳跃过程随机控制理论与随机介质中同质化理论之间的桥梁。