Many-Body Mobility Edge and Non-Hermitian Skin Effect in an Interacting Quasi-Periodic Spin Chain

技术摘要：相互作用准周期自旋链中的多体趋向边与非厄米皮肤效应

问题陈述
本文研究了非厄米（NH）多体系统中拓扑、定域化与边界效应交织在一起的、尚未被探索的集体行为。虽然在特定的厄米（Hermitian）和准周期设置中，单粒子趋向边（能量依赖的定域态与扩展态之间的转变）是已知的，但在相互作用的非厄米系统中，其存在性及其本质仍存在争议。具体而言，在存在准周期无序的情况下，多体皮肤效应（MBSE，即本征态在开边界条件下向边界聚集）与多体定域化（MBL）之间的相互作用在很大程度上仍未得到表征。作者旨在确定此类系统是否存在多体趋向边（MBME），以及它是如何受非厄米不对称性、相互作用和无序度竞争的影响而形成的。

研究方法
作者研究了一个长度为 $L$ 的一维相互作用非厄米自旋链，该链受到准周期纵向场的驱动。系统的哈密顿量由下式给出：
$$H = \sum_{i=1}^L \left[ t((1+\gamma)\sigma^-_i \sigma^+_{i+1} + (1-\gamma)\sigma^+_i \sigma^-_{i+1}) + J\sigma^z_i \sigma^z_{i+1} + g\sigma^x_i + h_i \sigma^z_i \right]$$
其中 $t$ 是跳跃振幅，$\gamma$ 控制非厄米不对称性，$J$ 是最近邻伊辛耦合，$g$ 是横向场，$h_i = h \cos(2\pi\alpha i + \phi)$ 是准周期（Aubry-André）无序势。

研究采用精确对角化方法（使用 Jax）处理系统尺寸高达 $L=14$ 的情况。作者在周期边界条件（PBCs）和开边界条件（OBCs）下分别对系统进行分析。为了表征这些物相，他们利用了一套诊断工具：

1. 多重分形维数 ($D_q$)： 特别是用于量化希尔伯特空间中定域化的第二阶矩 $D_2$，通过右本征态进行计算。
2. 复能级间距统计： 利用复特征值的平均间距比 $\bar{r}$ 和角度统计 $-\cos\theta$，以区分 Ginibre（离域）和 Poisson（定域）统计。
3. 多体逆参与率（MIPR）： 用于测量实空间中的粒子分布。
4. 复能量特征分数 ($f$)： 具有非零虚部的特征值占总特征值的比例。
5. 动力学观测量： 在 Néel 态猝冷后，粒子密度、电荷不平衡度 $c(\tau)$ 以及纠缠熵 $S_E(\tau)$ 的时间演化。

核心贡献与结果

• 发现“D 形”多体趋向边 (MBME)：
  核心发现是在相图中识别出一个稳健的“D 形”区域（跨越无序强度 $h$ 和能量密度 $\epsilon$），在该区域内本征态是扩展的，而被定域态所包围。

  • 结构： 在这个 D 形岛屿内，靠近谱中心的本征态是扩展的（$D_2 \to 1$），而靠近谱边缘的本征态则是定域的（$D_2 \to 0$）。
  • 共存： 这种结构意味着在同一无序强度下，定域本征态与扩展本征态可以在同一个哈密顿量中并存，并由临界能量密度进行分隔。
  • 稳健性： 这种 D 形特征在 PBC 和 OBC 下均持续存在，证实了它是一个体性质而非边界人工产物。

• 多体皮肤效应 (MBSE) 的表征：
  作者证明了 MBSE 会诱导本征态的多重分形标度特性。

  • 在 OBCs 下，非厄米不对称性导致波函数振幅向一侧边界聚集。
  • 这表现为在离域机制下，OBC 与 PBC 之间的多重分形维数 $\langle D_2 \rangle$ 显著降低。
  • OBC 与 PBC 之间的 $\langle D_2 \rangle$ 间隙成为了实空间边界聚集在希尔伯特空间中的指纹。

• 相变与谱性质：

  • 扩展到 MBL 的转变： 随着无序强度 $h$ 的增加，系统从扩展相（在 OBCs 下由 MBSE 主导）向 MBL 相转变。这一过程由宽阔的 D 形 MBME 区域介导。
  • 复数到实数的转变： 系统表现出从复特征值（Ginibre 系综统计）到实特征值（Poisson 统计）的谱转变。该谱转变的临界点（$h_c \approx 7.1$）略高于希尔伯特空间定域化（$D_2$）开始发生的点（$h_c \approx 6.5$），这表明它们是不同但相关的边界。
  • 相互作用的作用： 增加相互作用强度 $J$ 会促进定域化，使 MBME 向更低的无序强度方向移动。

• 动力学特征：

  • MBSE： 在弱无序机制下，时间演化显示粒子密度向边界漂移，证实了皮肤效应。
  • MBL： 在强无序机制下，系统保留了初始 Néel 态的记忆，电荷不平衡度趋于一个有限值并饱和，且纠缠熵缓慢增长（对数增长），这是 MBL 的典型特征。
  • MBME： 在中间机制下，动力学观测量表现出混合行为，即部分链段发生离域化，而其他部分保持定域，这与 MBME 的能量分辨特性一致。

意义与主张
本文声称提供了一个理解非厄米性、相互作用与无序之间相互作用的统一框架。

• 定义特征： 作者将“D 形”MBME 识别为开放量子多体系统中转变的一个清晰且具有定义性的特征，将其与简单的离域或完全定域区别开来。
• 多重分形作为诊断工具： 他们确立了多重分形标度（特别是 OBC 与 PBC 的 $\langle D_2 \rangle$ 之差）是 MBSE 以及 MBME 临界性质的稳健指标。
• 普适性： 结果表明，此前在厄米系统中建立的 D 形趋向边，同样适用于相互作用的非厄米链，从而塑造了开放量子系统的物理。
• 未来展望： 作者指出，尽管他们已经识别了这些物相，但构建非厄米 MBL 相的局部积分常数（LIOMs）以及 D 形边缘在随机无序下的持续性仍然是开放的理论问题。他们建议，所识别的动力学观测量可以通过超冷原子气体、光子晶格以及数字量子处理器进行探测。