The $\pi/12$ model: trimaximal first-column lepton mixing with charged-lepton $\mu$--$\tau$ breaking

技术摘要：$\pi/12$ 模型

问题陈述
近期的测量结果，特别是来自 JUNO 的首批反应堆数据，已将恒定轻子混合模式的状态从理论偏好转变为实验可判别的假设。虽然三极大混合（TBM）模式及其 TM2 变体已被全球拟合所排斥，但极大一型（TM1）模式在目前的实验数据下仍保持兼容（处于 $1.4\sigma$ 水平）。然而，在 TM1 框架内出现了一个关键的不对称性：轻子混合矩阵 $U$ 的第一列包含两个目前被数据以不同方式对待的条件：

1. 模长条件（Norm Condition）： $|U_{e1}|^2 = 2/3$（三极大模长）。
2. 平衡条件（Balance Condition）： $|U_{\mu1}| = |U_{\tau1}|$（$\mu$–$\tau$ 平衡）。

当前的全球拟合（NuFIT 6.1）显示，模长条件与零偏差是一致的（$\varepsilon_1 \approx +0.014$），而平衡条件则表现出显著的中心值偏差（$\varepsilon_2 \approx +0.29$），尽管由于对 CP 破坏相 $\delta$ 的测量精度较低，该偏差的统计显著性目前仅限于 $1.5\sigma$。本文旨在寻求一个既能保留 TM1 成功的电子行预测，又能自然容纳观测到的偏离 $\mu$–$\tau$ 平衡现象的框架。

方法论与框架构建
作者提出了 $\pi/12$ 模型，这是一个由带电轻子部门旋转补充的 TM1 混合的具体实现。其方法论如下：

• 中微子部门（未修饰基底）： 模型假设一个精确的 TM1 中微子混合矩阵，该矩阵是在 $S_4 \times C_4 \times C_3 \times C_2$ 味对称性框架下的“Krishnan 点”处生成的。该基点通过内部角 $\theta = -\pi/12$ 固定了反应角 $\theta_{13}$ 和太阳角 $\theta_{12}$ 的特定根式值。至关重要的是，该基点强制执行了 $\mu$–$\tau$ 反射对称性，从而导致最大大气角（$\theta_{23} = \pi/4$）和最大 CP 相（$\delta = \pm \pi/2$），这意味着 $\varepsilon_2 = 0$。
• 带电轻子部门（修饰）： 为了打破平衡条件同时保留模长条件，模型引入了一个单一的 2–3 扇区带电轻子旋转 $R_{23}(\theta_e, \alpha)$。由于该旋转对混合矩阵的第一行作用是平凡的，因此所有的电子行预测（包括 $|U_{e1}|^2$、$|U_{e2}|/|U_{e3}|$ 以及有效 Majorana 质量 $m_{\beta\beta}$）都保持完全不变。
• 对称性起源： 旋转角 $\theta_e$ 和相位 $\alpha$ 受味对称性约束。模型假设一个额外的标量场 $\xi$ 在“共轭-三极大”方向上对齐，产生了一个纯实数旋转（$\alpha = 0$）。这种对齐是由 $C_3$ 电荷分配和可重整化势能强制执行的，使得实数旋转极限成为一种结构性预测而非任意假设。

核心贡献与预测
$\pi/12$ 模型为电子行提供了四个无参数预测，并提供了一个控制大气部门的单一自由参数（$\theta_e$）：

1. 电子行预测：

   • $\sin^2 \theta_{13} = (2 - \sqrt{3})/12 \approx 0.02233$。
   • $\sin^2 \theta_{12} = \cos^2(\pi/12) / (2 + \cos^2(\pi/12)) \approx 0.31811$。
   • 比值 $|U_{e2}|/|U_{e3}| = 2 + \sqrt{3}$。
   • 有效 Majorana 质量 $m_{\beta\beta} = 5.4$ meV。
   • 现状： 以上四个指标目前均在 $1.5\sigma$ 内与实验数据一致。

2. 大气部门与 CP 相：

   • 模型预测了旋转角 $\theta_e$ 与大气角 $\theta_{23}$ 之间的线性关系，以及 $\delta$ 在 $270^\circ$ 附近的二次保护。
   • 通过匹配测得的 $\sin^2 \theta_{23} = 0.470$，得到旋转角 $\theta_e \approx -1.89^\circ$，从而得出预测的 $\delta \approx 271.6^\circ$ 以及 $\varepsilon_2 = -0.066$。
   • 一个最小化 $\Delta\chi^2$ 的全局拟合给出了略有不同的最佳拟合角 $\theta_e \approx -2.23^\circ$，对应的预测为 $\delta \approx 271.6^\circ \pm 2^\circ$（接近极大 CP 破坏）。
   • 张力： 该预测与当前 NuFIT 轮廓似然函数中的中心值 $\delta \approx 212^\circ$ 存在 $1.7\sigma$ 的偏差。该模型预测 $\varepsilon_2$ 为负，而当前数据中心值为正。

3. 质量谱：

   • 中微子质量谱继承自基底模型且保持不变：$m_1 \approx 5.2$ meV, $m_2 \approx 10.1$ meV, $m_3 \approx 50.4$ meV。
   • 质量总和： $\Sigma m_\nu = 65.6$ meV。
   • 符号模式： Majorana 相固定为 $\alpha_{21}=0, \alpha_{31}=\pi$，导致特定的符号模式 $(+, +, -)$。

结果与实验检验
论文确定了该框架的五个独立实验测试：

1. JUNO 终期目标： 对 $\sin^2 \theta_{12}$ 达到 $\pm 0.003$ 的最终精度将测试电子行的预测。如果当前的中心值 0.309 保持不变，该投影将使第一行处于 $-3.1\sigma$ 的偏差，从而为模长条件提供严苛的测试。
2. CP 相测量： 预测的 $\delta \approx 272^\circ$ 与当前的中心值截然不同。Hyper-Kamiokande 实验（预计精度 $\sigma(\delta) \approx 20^\circ$）有望在十年内以 $3\sigma$ 的水平解决这一张力。
3. 八分量相关性（Octant Correlation）： 在实数旋转极限下，$\theta_e$ 的符号将 $\theta_{23}$ 的八分量与 CP 相联系起来。负的 $\theta_e$（如拟合所示）要求 $\theta_{23}$ 处于第一八分量（$\sin^2 \theta_{23} < 0.5$）且 $\delta$ 略高于 $270^\circ$。
4. 宇宙学： 预测的质量总和 $\Sigma m_\nu = 65.6$ meV 处于当前 DESI 的限制范围内（在 $\Lambda$CDM 下 $\Sigma m_\nu < 64.2$ meV，置信度 95% C.L.）。该模型仅在存在动力学暗能量或宇宙学限制放宽的情况下才是可行的。
5. 中微子双 $\beta$ 衰变： 预测的 $m_{\beta\beta} = 5.4$ meV 低于目前的实验探测范围，但在下一代实验的目标范围内。

意义与主张
论文认为 $\pi/12$ 模型是一个“具有高度可测试性”的框架。其主要意义在于其可证伪性：

• 它将目前尚不精确的 $\theta_{23}$ 和 $\delta$ 测量转化为一个明确的测试。该模型预测了一个特定的、接近极大的 CP 相，虽然目前与数据存在轻微张力，但将在未来十年内被即将到来的实验（如 Hyper-Kamiokande, DUNE）明确证实或排除。
• 它解释了为何第一列中模长条件与平衡条件之间存在观测到的不对称性，将其归因于一个既保留电子行又破坏 $\mu$–$\tau$ 平衡的带电轻子旋转。
• 该模型通过预测层次化质量谱而非准简并质量，将其与竞争性的解释（如重整化群演化）区分开来。
• 作者指出，轻子部门与夸克部门存在平行之处，其中 Fritzsch–Xing 相也被认为与极大值一致，这表明在两个部门中可能存在近极大相的结构性起源，尽管这在本文中仅作为一种平行观察而非推导出的统一理论。

论文总结道，尽管目前的拟合质量较为一般（拟合优度 $\approx 19\%$），但该框架的经济性（用一个参数取代了整个 $\theta_{23}$–$\delta$ 部门）及其完全的可证伪性，构成了值得认真对待的主要理由。