The set of primes is supernatural: a Lean formalization of the statement of the conjecture
本文呈现了一个完整的、经由机器校验的 Lean 4 形式化过程，该过程对如下猜想进行了形式化：不存在由恒等函数、常数以及有限个逐点运算（加法、乘法、指数运算）构造出的非恒定函数，能够将每个正整数映射为素数，从而将该猜想转化为一个精确的、可由内核验证的自动化推理系统目标。
原始论文采用 CC BY 4.0 许可（http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/）。 这是对下方论文的AI生成解释。它不是由作者撰写或认可的。如需技术准确性，请参阅原始论文。 阅读完整免责声明
想象一个浩瀚、无限的图书馆，其中的每一本书都是一个数字。在这个图书馆里，有一个非常特别且排外的俱乐部，叫做“素数”。这些数字是无法通过将较小的数字相乘来构建的；它们是算术中的不可分割的原子，比如 2、3、5 或 7。几个世纪以来，数学家们一直试图编写一个单一、简单的配方——一台由基础数学工具制成的机器——使其只能吐出这些特殊的俱乐部成员。他们想要一台无论你输入什么数字，都能始终输出一个素数的机器。
允许使用的工具是那些我们最基本的工具：将数字相加、将它们相乘以及对它们进行幂运算（比如平方或立方）。你可以根据自己的喜好随意组合这些工具，但你不能使用像除法或平方根这样高级的东西。大问题在于，是否有一种方法，仅使用这些简单的工具，就能构建出一台永远不会出错的机器？它能否生成一个无穷无尽的素数列表，还是说它最终会失误并产生一个不是素数的数字？这不仅仅是一个游戏；它触及了数字结构的内核。如果这样一台机器存在，就意味着素数遵循一种简单、可预测的模式。如果不存在，则意味着素数是狂野、混沌且“超自然”的，其方式超出了简单公式的定义。
这篇论文是一个关于那个问题的数字侦探故事。作者 Arnaud Mayeux 将一篇提出了一个大胆猜想（conjecture）的特定数学论文，完整地翻译成了一种名为 Lean 的计算机语言。可以将 Lean 想象成一个极其严厉的裁判，它会检查数学证明中的每一个步骤，以确保其在逻辑上是 100% 严密的，没有任何人类错误或“我觉得这行得通”这类时刻。这篇论文并没有解决“素数生成机”是否存在之谜；相反，它为这个游戏的规则构建了一个完美的、不可破坏的数字模型。
这项工作的核心发现是，关于“素数机器”猜想的整个理论都已成功编码进计算机中。原论文中的每一个定义、每一个示例和每一张数字表，现在都存在于这个数字文件中。作者检查了 8-9 个不同的“自然函数”（这是对由加法、乘法和幂运算构建的机器的专业称呼）的示例。对于每一个函数，计算机都计算了结果，并确认它们最终都会无法产生素数。例如，一个函数在前六个数字上表现完美，但在第七个数字上失效了。计算机以绝对的确定性证明了这些失败，利用先进的数字证书来验证那些人类手工检查需要数年时间的巨大数字。
然而，论文明确说明了它尚未完成的工作。它并没有证明素数机器是不可能的。它并没有找到最终答案。那个核心猜想——即不存在这样的机器——仍然是一个开放问题，是一个在计算机代码中被“命名为开放问题”的存在，等待着人类或人工智能最终去证明它。这篇论文本质上是在说：“这是确切的规则手册，这也是证据，证明我们目前尝试过的每一台机器都失败了，但最终的判决尚未下达。”
作者还稍微扩大了游戏的范围。他们问道：“如果我们增加一些更多的工具，比如阶乘（将一个数字与其下方所有的数字相乘）或 Knuth 箭头（一种书写巨大幂运算的方式）会怎样？”他们利用这些额外的工具构建了一类新的、更大的机器，并提出了一个更难的、更高层级的猜想：即使拥有这些超级工具，你仍然无法构建一台只制造素数的机器。这个新的猜想同样处于开放状态，尚未被证明，但现在它已经以一种计算机可以检查的方式被记录了下来，以便如果有人最终找到了证明，计算机可以进行验证。
简而言之，这是一篇关于翻译与验证的大型工作。它将一个关于素数混沌本质的复杂数学思想，锁入了一个数字保险库，在那里，每一条规则都受到机器的检查。它确认了对于所测试的每一个具体示例，素数机器都会失效，但它将“这种机器在理论上是否可能存在”这一终极问题，作为一个对未来的挑战留了下来。素数，看起来确实是“超自然”的，它们抵御着我们试图用任何简单公式去捕捉它们的尝试。
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