Optimal Stability Bounds, Minimizers, and Critical Points for a Critical Nonlocal Sobolev Inequality on the Heisenberg Group

技术摘要：海森堡群上临界非局部 Sobolev 不等式的最优稳定性界限、极小值点与临界点

问题陈述
本文研究了海森堡群 $\mathbb{H}^n$ 上临界非局部 Sobolev 不等式的定量稳定性。该核心不等式是耦合了亚拉普拉斯算子能量的锐利 Hardy-Littlewood-Sobolev (HLS) 型不等式：
$$SHL(Q, \mu) \left( \int_{\mathbb{H}^n} \int_{\mathbb{H}^n} \frac{|u(\xi)|^{Q^*_\mu}|u(\eta)|^{Q^*_\mu}}{|\eta^{-1}\xi|^\mu} d\xi d\eta \right)^{\frac{1}{Q^*_\mu}} \leq \int_{\mathbb{H}^n} |\nabla_H u|^2 d\xi,$$
其中 $Q = 2n+2$ 是齐次维度，$0 < \mu < Q$，$Q^*_\mu = (2Q-\mu)/(Q-2)$。该不等式的极值函数（bubbles）是 Jerison-Lee bubbles，它们构成了一个流形 $\mathcal{M}$。

作者旨在确定最优稳定性常数 $H_{NS}$，其定义为 Sobolev 亏损（deficit）与到流形 $\mathcal{M}$ 距离平方之比的下确界：
$$H_{NS} := \inf_{u \in S^{1,2}(\mathbb{H}^n) \setminus \mathcal{M}} \frac{\int_{\mathbb{H}^n} |\nabla_H u|^2 d\xi - SHL(Q, \mu) (\text{HLS 项})}{\text{dist}(u, \mathcal{M})^2}.$$
本研究解决了由非局部 HLS 卷积与 $\mathbb{H}^n$ 上非交换共形几何之间的相互作用所引起的三个特定挑战：

1. 非局部项的线性化生成了两个截然不同的耦合双线性型，这与局部问题中的单个双线性型不同。
2. 建立稳定性常数的严格上界需要依赖于特定参数范围 $(n, \mu)$ 的高阶展开，而这些展开无法通过从欧几里得结果进行简单的维度代换来得出。
3. 歧义性分析（dichotomy analysis）需要对通过核函数 $|\eta^{-1}\xi|^{-\mu}$ 实现的海森堡平移与膨胀之间的相互作用进行精确展开。

方法论
作者结合使用了谱分析、变分方法和渐近展开：

• Cayley 变换与谱对角化： 问题通过 Cayley 变换从 $\mathbb{H}^n$ 映射到 CR 球面 $S^{2n+1}$。通过复球面调和函数 $\mathcal{H}^{n+1}_{i,j}$ 对亏损的二阶变分进行分析。这使得可以对与非局部线性化相关的两个耦合特征值问题进行对角化。
• 摄动分析： 为了建立严格上界，作者构造了测试函数。
  • 谱阈值（Spectral Threshold）： 使用受最低正规谱模（特别是 $(2,0)$ 模）摄动的单个 bubble 来检测局部的紧性丧失。
  • 两峰阈值（Two-Peaks Threshold）： 使用两个渐近分离的 bubble 的叠加来检测由于歧义性（能量分裂）导致的紧性丧失。
• 轮廓分解（Profile Decomposition）： 利用结合了非局部 Brezis-Lieb 分裂的海森堡群轮廓分解来处理极小化序列。该框架将序列分离为一个弱极限和一个余项，从而使作者能够排除非紧性情形。
• 临界点稳定性： 对于 Euler-Lagrange 方程，作者分析了对偶空间 $(S^{1,2})^{-1}$ 中的残余商，这需要一种不同于泛函亏损分析的独立展开。

主要贡献与结果

1. 识别严格紧性阈值（定理 3.1）：
   本文确定了两个作为紧性屏障的 $H_{NS}$ 严格上界：

   • 谱上界 ($H^{\text{spec}}_{NS}$)： 由球面上的耦合特征值问题导出。显式常数为：
     $$H^{\text{spec}}_{NS} = \frac{(4n + 8 - 2\mu)(\mu + 4)}{2(n + 4)(4n + 8 - \mu)}.$$
     在特定的 $(n, \mu)$ 条件下（包括 $\mu \leq 4$ 或 $\mu > 4$ 的特定范围），证明了严格性（$H_{NS} < H^{\text{spec}}_{NS}$）。
   • 两峰上界 ($H^{\text{2-peak}}_{NS}$)： 由两个 bubble 的相互作用导出。该界限为：
     $$H^{\text{2-peak}}_{NS} = 2 - 2^{\frac{2n}{4n+4-\mu}}.$$
     这些界限严格大于对应的局部 Folland-Stein-Sobolev 不等式的阈值，表明非局部项改变了紧性结构。

2. 极小值的存在性（定理 3.2）：
   通过结合严格阈值与轮廓分解，作者证明了在严格界限成立的参数范围内（特别是 $\mu \leq 4$ 或 $\mu > 4$ 且 $n \geq 5$ 并满足特定约束时），下确界 $H_{NS}$ 是可以达到的（即存在极小值）。

3. 与局部稳定性的严格比较（定理 3.2 与注记 3.1）：
   极小值 $u_0 \notin \mathcal{M}$ 的存在性使得作者能够对非局部与局部稳定性常数进行严格比较。作者证明了：
   $$H_{NS} > H_{BE},$$
   其中 $H_{BE}$ 是局部 Folland-Stein-Sobolev 不等式的最优稳定性常数。这表明非局部相互作用严格增加了稳定性常数。

4. 锐利通用上界（定理 3.3）：
   本文确立了亏损与距离之比的锐利通用上界恰好为 1：
   $$\text{Deficit} \leq 1 \cdot \text{dist}(u, \mathcal{M})^2.$$
   当且仅当 $u \in \mathcal{M}$ 时等号成立。这一结果镜像了局部情况，表明虽然下界（稳定性常数）因非局部性而改变，但上界保持通用。

5. 临界点稳定性（定理 3.4）：
   对于相关的 Euler-Lagrange 方程，作者推导了单 bubble 情况下的临界点稳定性常数 $H_{CP}(1)$ 的严格上界。该界限与泛函达到的结果不同，它依赖于相同的耦合谱模但采用了不同的残余展开。

意义与主张
本文声称，虽然最小化稳定性商的抽象策略并非新颖，但混合非局部-海森堡问题具有与欧几里得非局部问题及局部海森堡问题截然不同的定量结构。

• 耦合谱问题： 主要的创新点在于识别了一个耦合的 CR-HLS 谱问题。稳定性阈值由两个双线性型的同时对角化决定，由此产生的常数无法仅从欧几里得 HLS 谱或局部 CR 谱中获得。
• 参数依赖的非线性： 本文强调，严格性并非自动成立；它需要对依赖于参数 $n$ 和 $\mu$ 的高阶项进行精细分析。
• 紧性与比较： 本工作首次为这种特定非局部不等式在海森堡群上的达到性提供了严格证明，并建立了严格不等式 $H_{NS} > H_{BE}$。

作者并未声称解决了所有参数范围内的极小值存在性一般问题，而是提供了保证达到性的显式条件。同样，临界点稳定性结果被作为一个独立的推导呈现，并不直接遵循泛函商的达到性。