Dynamic $e$-closure for online hypotheses with any-time-valid evidence: closure principles and projective mergers

技术摘要：面向具有任意时刻有效证据的在线假设检验的动态 e-闭包 (Dynamic e-closure)

问题设定
本文探讨了现代统计检验中的双重序列性问题：假设可能会随时间到来（在线设置），同时现有假设的证据会持续演变并可在任意停止时刻进行检查（任意时刻设置）。这种情况出现在诸如持续运行的平台试验（platform trials）等场景中，其中在为现有臂（arms）进行招募的同时，新的治疗臂也在加入，且共享对照组（shared controls）会导致流之间的依赖关系。

核心挑战在于，在全局停止时间 (global stopping times) 下维持有效的误差控制（特别是错误发现率，FDR）：此时停止的时间和活跃的真实零假设集合都是随机的。经典的闭包检验（closed testing）和固定时间 e-闭包在此失效，因为在停止时刻的“活跃真实零交集”是一个随机对象，而标准的 e-过程保证是针对固定交集或固定停止时间的。此外，标准的在线闭包方法通常假设证据在假设到达时即被冻结，这无法适应不断演变的证据。

方法论与框架
作者开发了一种建立在三个现有支柱之上的动态 e-闭包 (dynamic e-closure) 理论：

1. 固定时间 e-闭包： 使用交集 e-值来同时认证一系列拒绝集。
2. 在线闭包： 使用可预测性条件来防止未来的假设使当前的决策失效。
3. 全局过滤有效性： 确保 e-过程在适配于全局信息流（包括共享对照组）的停止时间下保持有效。

该框架引入了一个动态交集 e-过程集合 $(E^S_t)_{t \ge 0, S \subseteq I}$，其中 $S$ 代表一个交集假设，$t$ 代表全局证据时间。该集合施加了两个关键条件：

• 未来扩展相干性 (Future-extension coherence)： 添加尚未到达的假设（休眠假设）不会降低当前的证书值（即 $E^{S \cap I_t}_t \le E^S_t$）。这确保了决策对于更大的有限未来视界的选择具有不变性。
• 时间单调性 (Time monotonicity)： 证书随时间非减（即对于 $t \le u$，有 $E^S_t \le E^S_u$）。这对于控制随时间变化的误差率的上确界是必需的。

主要贡献与结果

1. 动态 e-闭包原理：

   • 视界不变性 (Horizon Invariance)： 本文证明，在满足未来扩展相干性的条件下，从当前活跃族计算出的闭包，与从任何更大的有限视界计算出的闭包的限制是相同的。
   • 随机交集局部化 (Random-Intersection Localization)： 一个关键引理表明，对于具有未来扩展相干性的集合，在停止时刻 $\tau$ 的随机活跃真实零交集的证书，可以由一个固定终端交集的证书来界定。这允许将标准的选择定理（optional stopping theorems）应用于随机交集。
   • 前向定理 (Forward Theorems)：
     • 如果集合具有未来扩展相干性，则生成的动态闭包控制同步停止 FDR (simultaneous stopped FDR)。
     • 如果集合同时具有时间单调性，则其闭包控制同步 SupFDR（随时间变化的错误发现比例的期望上确界），并确保集合性持久性 (setwise persistence)（一旦某个集合被认证，它将保持被认证状态）。

2. 充分必要特征描述：

   • 本文确定了每一个满足停止 FDR 或 SupFDR 标准的程序，都包含在由规范归一化损失 e-过程 (canonical normalized-loss e-processes) 生成的动态闭包之中。
   • 这些规范证书是通过对程序本身的最坏情况损失剖面进行归一化来构建的。这提供了一个表示定理：动态 e-闭包对于这些误差标准而言是必要且充分的（在包含关系意义上）。
   • 该理论可扩展到有界的、单调的、局部损失函数。

3. 跨视界的容许合并 (Admissible Mergers Across Horizons)：

   • 本文研究了如何通过逐点合并规则从坐标 e-过程构建交集过程。
   • 跨视界刚性 (Cross-Horizon Rigidity)： 研究表明，若要使一族逐点合并在增长的假设视界下（特别是在中性填充/neutral padding 情况下，即休眠假设贡献中性值 1）具有相干性，则合并权重必须是单个全局可求和权重序列的限制。
   • 对称性不可能 (Symmetry Impossibility)： 在可数无限的假设宇宙中，不存在非平凡的、对称的、容许的、任意依赖的逐点合并族，能在无界视界下保持相干。对称性强制所有权重为零。
   • 构造： 本文提供了“全局加权投影闭包 (globally weighted projective closure)”以及利用调整后的运行最大值（running maxima）构建持久化程序的方案。

4. 全局过滤与共享对照组：

   • 本文验证了通过直接在全局过滤中构建测试超鞅（test supermartingales），可以在存在共享对照组（从而引入依赖关系）的情况下维持有效性。
   • 本文证明，即使 p-值在每个确定性时刻都是独立的，固定的 PRDS（部分正回归依赖）对于控制全局停止时间的 FDR 也是不足够的。直接的顺序 BH 程序可能会在全局停止规则下失效。

意义与主张
本文声称提供了第一个统一了“在线假设到达”与“任意时刻证据演变”的动态 e-闭包综合理论。其主要意义在于：

• 解决随机交集问题： 通过引入未来扩展相干性和局部化，弥合了固定交集 e-过程有效性与停止时刻随机活跃假设之间的鸿沟。
• 统一误差标准： 本文展示了对于具有集合性持久性的族，固定时间 FDR、停止 FDR 和 SupFDR 之间的区别会消失，从而简化了持久化检验程序的设计。
• 刻画合并规则： 本文严格刻画了在增长视界下合并规则的约束，证明了容许且相干的任意依赖合并需要一个全局权重预算，从而排除了在开放式环境下简单的对称或重新归一化方法。
• 实际基准： 本文确立了 “closed eBH” 和 “closed BY” 作为有效的批处理任意时刻基准，并为构建持久化程序提供了方案。

作者指出了局限性，包括一般闭包的计算复杂度（随活跃假设数量呈指数级增长）以及确定性活跃集的假设。建议未来的工作方向包括随机假设到达、历史依赖型合并以及可扩展算法。本文并不声称解决了所有平台试验的复杂性（例如延迟结局、监管规则），而是提供了一个处理双重序列性（假设到达与证据演变）的基础理论框架。