On the large-time behavior of strong solutions to the generalized compressible Navier-Stokes-Korteweg system in 2D and 3D for arbitrarily large initial data

技术摘要：广义可压缩 Navier-Stokes-Korteweg 系统强解的全局存在性与长时间行为

问题陈述
本文研究了二维和三维周期性可压缩 Navier-Stokes-Korteweg (NSK) 系统强解的全局存在性与长时间渐近行为，其初始数据 $(\rho_0, u_0) \in H^3 \times H^2$ 可以是任意大的。该系统的特征是满足 Bresch-Desjardins (BD) 关系的密度相关粘性系数 $\mu(\rho) = \nu\rho^\alpha$ 和 $\lambda(\rho) = 2\nu(\alpha-1)\rho^\alpha$，以及毛细系数 $\kappa(\rho) = \varepsilon^2\alpha^2\rho^{2\alpha-3}$。

解决的主要数学挑战包括：

1. 大数据的全局存在性： 在不依赖初始数据小性假设的情况下，建立高维（$N=2,3$）全局强解的存在性。
2. 一致密度界限： 证明密度在时间上保持一致远离真空和聚集状态（即 $C^{-1} \le \rho(x,t) \le C$），这是实现高阶正则性的前提条件。
3. 长时间行为： 证明解在 $t \to \infty$ 时收敛至平衡态。

以往的研究已在特定参数范围（例如 Gu-Huang-Meng-Zhou [16] 对于 $\alpha < 1$ 以及 Huang-Meng-Zhang [25] 对于 $\alpha=1$）内建立了全局存在性，但通常受到绝热指数 $\gamma$ 的限制，或者未能针对任意大数据的统一时间密度界限及长时间收敛性建立证明。

方法论
作者采用了一种以有效速度变换和重构系统的双抛物结构为核心的多维度分析策略。

1. 有效速度表述： 利用有效速度 $v := u + c\rho^{\alpha-2}\nabla\rho$，其中 $c = \nu + \sqrt{\nu^2-\varepsilon^2}$，将原系统重构为耦合的密度-有效速度系统（方程 11），该系统展现出双抛物结构。这种结构对于导出额外的正则性并控制密度至关重要。

2. 容许参数的 Bootstrap 论证：

   • 对于 $\alpha < 1$ 的情况，作者改进了绝热指数 $\gamma$ 的容许范围。他们利用一种 Bootstrap 论证，连接了标准能量估计（加权 $L^2$）与临界估计（加权 $L^3$）。通过迭代提高有效速度和密度的可积性，他们将 $\gamma$ 的范围扩展到了此前结果之外（特别是在 3D 中，达到了 $\frac{111\alpha^2-122\alpha+33}{21\alpha-13}$）。

3. 用于上界的时离散策略：

   • 为了建立密度的统一上界，作者采用了时间离散化策略。他们将时间轴 $[0, \infty)$ 划分为长度一致有界的子区间 $[t_n, t_{n+1}]$。
   • 利用耗散估计，他们确定了密度和有效速度满足统一定量界限的时间点 $t_n$。
   • 在每个子区间上，他们应用了一种改进的 Nash-Moser 迭代方案（受 Gu-Huang-Meng-Zhou [16] 启发），从而导出与特定子区间无关的密度上界，进而获得全局统一上界。

4. 用于下界的归纳 Bootstrap（$\alpha < 1$）：

   • 建立统一的正下界需要更强的有效速度可积性（$L^p$ 且 $p > \frac{2}{1-\alpha}$）。
   • 作者开发了一种新型的归纳 Bootstrap 程序。假设第 $(k-1)$ 层估计成立，他们导出第 $k$ 层统一估计和耗散估计。该过程重复有限次，直到达到所需的积分性，从而允许对倒数变量 $\tau = \rho^{-1}$ 应用 Nash-Moser 迭代以获得统一正下界。
   • 对于临界情况 $\alpha = 1$，论文建立了统一上界，但指出由于无法在有效速度的 $L^\infty$ 层级闭合 Bootstrap，因此下界仍是一个开放问题。

5. 高阶估计与衰减：

   • 在建立统一密度界限后，作者导出了密度和有效速度的全局高阶估计。
   • 他们利用有效速度系统中固有的椭圆结构来控制高阶导数。
   • 这些估计导致了长时间行为的证明，即密度偏差的 $H^3$ 范数和速度梯度的 $H^1$ 范数趋于零。

主要贡献与结果

• 定理 1.1（情况 $\alpha < 1$）：

  • 建立了二维和三维中任意大初始数据的唯一全局强解的存在性。
  • 扩大参数范围： 显著扩大了绝热指数 $\gamma$ 的容许范围（与 [16] 相比）。在 3D 中，$\gamma$ 现在可以达到 $\frac{111\alpha^2-122\alpha+33}{21\alpha-13}$。
  • 统一界限： 证明了对于所有 $t \ge 0$，密度满足 $C^{-1} \le \rho(x,t) \le C$，确保了解远离真空和聚集。
  • 长时间行为： 证明了 $\|\rho(t) - \rho_s\|_{H^3} + \|\nabla u(t)\|_{H^1} \to 0$ 当 $t \to \infty$ 时，其中 $\rho_s$ 是平均密度。这在没有任何初始数据小性假设的情况下成立。

• 定理 1.2（情况 $\alpha = 1$）：

  • 建立了临界情况 $\alpha = 1$ 的全局存在性（这包括在特定条件下包含粘性 Saint-Venant 模型和量子 Navier-Stokes 系统）。
  • 改进参数范围： 进一步扩大了 3D 中 $\gamma$ 的容许范围至 $[1, 11/4)$，优于 [22] 中的 $[1, 8/3)$ 和 [25] 中的 $[1, 7/3)$。
  • 统一上界： 证明了密度的统一上界 ($\rho(x,t) \le C$)。
  • 局限性： 论文明确指出，在临界情况 $\alpha=1$ 下建立统一正下界仍是一个开放性挑战，并留作未来研究方向。

意义

本文对以下问题给出了肯定的回答：在多维周期性 NSK 系统中，具有任意大初始数据的全局强解是否具有统一时间的密度界限，并是否收敛至平衡态。

• 解决开放问题： 它解决了关于具有大数据的广义 NSK 系统中，长时间行为和统一密度界限的开放问题，这些问题在 [16] 和 [25] 建立全局存在性后仍未得到解决。
• 方法论进步： 开发了结合 Bootstrap 可积性论证的时间离散化策略。这使得可以在不依赖于量子 Navier-Stokes 分析中通常需要的限制性中间机制（$\varepsilon = \nu$）的情况下导出统一界限，从而覆盖了更广泛的抛物型机制（$\varepsilon < \nu$）。
• 参数优化： 通过精炼 $\gamma$ 的容许范围，其结果扩大了具有毛细效应的可压缩流体的全局存在性理论的物理适用性。

作者强调，其结果是在未施加初始数据小性条件的情况下得出的，这使得研究结果对于涉及大扰动的物理相关场景具有鲁棒性。该工作将向 Cauchy 问题（Cauchy problem）的扩展以及临界情况 $\alpha=1$ 下下界的建立作为未来的研究方向。