Extremely Large Beyond-Diagonal RIS: Low-Rank Modal Optimization for Near-Field Communications

以下是关于论文《极大规模超越对角线 RIS：面向近场通信的低秩模态优化》的技术摘要详细翻译：

问题陈述

本文解决了在辐射近场环境下，针对极大规模（XL）孔径的**超越对角线可重构智能表面（BD-RIS）**的扩展性与性能挑战。

1. 优化与硬件负担： 全连接 BD-RIS 架构通过实现非对角、酉散射响应，能够提供最高的性能。然而，优化一个 $M \times M$ 的散射矩阵（其中 $M$ 为单元数量）会产生二次方数量的可重构条目（$O(M^2)$）以及三次方的单次迭代计算复杂度（$O(M^3)$）。对于拥有数百或数千个单元的极大规模表面而言，这种负担是难以承受的。
2. 近场建模失效： 随着毫米波和亚太赫兹频率下孔径尺寸的增大，瑞利距离延伸，使得基站（BS）和用户都处于近场区域。在此机制下，波前是球面波而非平面波。依赖远场假设（如 DFT 波束空间、仅角度参数化）的传统设计工具性能显著下降，因为它们无法捕捉球面波固有的距离信息和幅度锥度。
3. 技术缺口： 现有的降维技术（如固定 DFT 波束空间）重新引入了违反近场几何特性的远场假设，导致严重的性能损失。目前缺乏一种与近场几何相匹配、且在理论上等价于全连接最优解的降维方法。

方法论

作者提出了一种几何模态架构（Geometric Modal Architecture），将优化维度从物理面板尺寸（$M$）中解耦，转而将其与传播环境相绑定。

1. 系统建模：

   • 系统使用自由空间标量格林函数进行建模，该函数捕捉了球面相位曲率和幅度衰减。
   • 级联信道（BS-RIS-用户）被证明存在于由终端位置（基站天线和用户）唯一决定的**球面波原子（spherical-wave atoms）**所张成的低维子空间中。
   • 入射场和辐射场被展开到正交模态基 $\Phi$ 上，从而将无限维的散射核简化为一个紧凑的 $L \times L$ 模态矩阵 $\Psi$。

2. 几何模态基构建：

   • 作者从堆叠原子矩阵 $[G, F^*]$ 构建基底，其中 $G$ 代表 BS 到 RIS 的响应，$F^*$ 代表共轭的 RIS 到用户的响应。
   • 通过对该矩阵进行薄奇异值分解（SVD），识别出活跃子空间维度 $\rho$（数值秩）。
   • 基 $\Phi$ 由主奇异向量加上任意的正交补（slack）组成，以确保酉性。生成的维度为 $L = 2\rho \le 2(N+K)$，其中 $N$ 是基站天线数，$K$ 是用户数。

3. 理论等价性（命题 2）：

   • 利用酉扩张论证（Halmos 扩张），本文证明了一个 $L \times L$ 的酉模态矩阵 $\Psi$（通过无损完成嵌入表面中）在理论上等价于一个无约束的 $M \times M$ 酉表面。
   • 该等价性适用于任何视距（LoS）几何结构，这意味着即使仅使用 $L^2$ 个可重构条目，也能达到全连接的最优性能，且与面板尺寸 $M$ 无关。

4. 可扩展优化：

   • 作者开发了一种 加权最小均方误差（WMMSE）黎曼交替优化算法。
   • 波束成形： 通过闭式解进行更新，并结合径向功率投影以确保单调收敛。
   • 模态矩阵更新： 在酉群 $U(L)$ 上使用黎曼梯度下降法进行优化，并配合 Armijo 回溯。
   • 复杂度： 单次迭代成本为 $O(L^3)$，与 $M$ 无关。对 $M$ 的依赖仅限于一次性的压缩步骤（$O(M\rho^2)$）。

核心贡献

1. 几何模态架构： 一种新颖的设计，其可重构维度由耦合球面波模态的数量（由终端位置决定）设定，而非面板尺寸。
2. 精确的 $M$-无关等价性： 证明了只要基底张成了信道的活跃子空间，即可获得 $L = 2\rho$ 个自由度的全连接最优性能。这消除了对 $O(M^2)$ 条目的需求。
3. 可扩展优化算法： 一种 WMMSE-Riemannian 算法，实现了具有单调收敛性的计算，且单次迭代复杂度与表面尺寸无关。
4. 近场分析： 通过定量分析，阐明了失配设计（DFT 波束空间）带来的惩罚以及近场聚焦（距离可分辨性）带来的收益。

数值结果

本文通过在近场场景下（$d_{BS} = 0.16 d_F$）使用 $24 \times 24$（$M=576$）个单元的面板验证了理论。

• 性能 vs. 条目数：
  • 所提出的模态设计仅需约 196 个条目（$L=14$）即可达到全连接最优性能。
  • 失配的 DFT 波束空间 需要约 12,100 个条目 才能达到全连接性能的 99%，这代表了 60 倍的条目数量惩罚。
  • 分组连接（Group-connected） 架构（例如 $N_g=32$）需要更多的条目才能接近最优值，且收敛速度更慢。
• 收敛性： 模态设计在大约 $2 \times 10^4$ 次外层迭代中收敛。虽然 DFT 波束空间收敛更快，但由于基底失配，其最终达到的目标值明显较低。
• 距离可分辨性： 研究表明，该架构可以分辨两个方位角相同但距离不同的用户，其过渡点符合焦深定律（$2r_0^2/D$）。
• 深度依赖性： 随着基站向近场深处移动，超越对角线耦合相对于对角线相位的优势不断增加（从 2.5 增加到 4.4 bits/s/Hz），同时所需的模态维度 $L$ 保持较小并随几何结构变化。

意义与主张

本文声称解决了极大规模 BD-RIS 在近场环境下的“可扩展性 vs. 最优性”权衡问题。其主要意义在于证明了当设计与近场几何相匹配时，全连接性能是可实现的。

• 可证明的最优性： 与提供经验权衡的分组连接架构不同，所提出的模态架构提供了达到全连接最优解的可证明保证。
• 硬件效率： 它将可重构条目从 $O(M^2)$（例如 $M=576$ 时约为 330,000 个）降低到 $O((N+K)^2)$（例如约为 196 个），大幅降低了硬件复杂度和控制开销。
• 几何驱动设计： 本研究确立了近场不仅不是需要修正的干扰，反而是一种资源，因为它能实现低秩优化，因为球面波前自然地将信道限制在由终端位置决定的低维子空间内。

作者总结道，其框架提供了一个完整的“复杂度-性能阶梯”，其中模态架构是唯一既能保证最优性又能实现计算可扩展性的方案。