A proper Euler magic matrix of order 6

技术摘要：阶数为 6 的正规欧拉魔矩阵

问题陈述
本文探讨了阶数为 $n$ 的“正规欧拉魔矩阵”（proper Euler magic matrices）的存在性。一个具有常数 $\gamma \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}$ 的欧拉魔矩阵 $M \in \mathbb{Z}^{n \times n}$ 由三个条件定义：

1. 正交性： $MM^t = \gamma I_n$，这意味着每一行和每一列的平方范数均为 $\gamma$，且不同的行是正交的。
2. 主对角线： 主对角线上元素的平方和等于 $\gamma$。
3. 反对角线： 反对角线上元素的平方和等于 $\gamma$。

若矩阵中元素的平方互不相同（等价于 36 个元素的绝对值互不相同），则称该矩阵为正规（proper）矩阵。欧拉曾构造出阶数为 4 的正规示例，随后 Müller 的研究解决了阶数为 3 和 8 的情况，Kominers 解决了阶数为 5 的情况，而阶数为 6 的正规欧拉魔矩阵的存在性曾是一个悬而未决的问题。阶数 6 是文献中尚未解决的最小整数阶数。

方法论
作者采用了一种解耦定义中同时约束条件的计算搜索策略。该方法论如下：

• 解耦约束： 搜索过程将正交条件 (1) 与对角线条件 (2) 和 (3) 分离。首先生成满足 (1) 的矩阵。
• 置换过滤： 算法并非同时求解对角线平方和，而是生成满足 (1) 的矩阵后，扫描所有 $n!$（对于 $n=6$ 为 720）种可能的行与列的置换。它识别出满足条件的“好”置换 $\rho$，其中经过置换后的对角线元素平方和等于 $\gamma$。如果存在两个兼容的置换 $\rho_1$（主对角线）和 $\rho_2$（反对角线），使得 $\rho_1^{-1}\rho_2$ 对应于特定的对合结构，则找到了一个有效的欧拉魔矩阵。
• 候选对象生成： 通过将满足正交条件的候选矩阵构造为小型整数块（“原子”）的乘积。这些原子源自目标常数 $\gamma$ 的两平方表示和四平方表示，以及 $3 \times 3$ 块和配置块（conference blocks）。
• 搜索空间剪枝： 建立了一个初等下界：$\gamma \geq 2485$。这是因为一个阶数为 6 的正规矩阵必须包含 36 个互不相同的绝对值，其下界为 $\{0, 1, \dots, 35\}$。搜索将 $\gamma$ 限制在 $[2485, 5 \times 10^5]$ 范围内。
• 优化： 作者指出，将生成限制在两平方表示（一种较快的方法）未能产生正规示例，因为其量级变化不足。成功的生成器利用了更广泛的表示族，将寻找正规候选对象的速率提高了五个数量级。

核心贡献与结果
本文提供了两个独立的阶数为 6 的正规欧拉魔矩阵的具体构造：

1. 第一个示例： 矩阵 $M$，其常数 $\gamma = 18500$。文中列出了其元素的具体数值，作者验证了其 36 个绝对值均互不相同，行正交，且对角线之和等于 18500。该矩阵是本原的（元素的 GCD 为 1）。
2. 第二个示例： 矩阵 $M'$，其常数 $\gamma = 43290$。这作为一个独立的见证，证实了该对象模型。$M$ 与 $M'$ 的绝对值多重集不同，证明它们之间不存在缩放或简单置换的关系。

验证
结果的有效性通过三种独立的验证方法确立：

1. 通过直接的精确整数算术脚本检查所有定义条件。
2. 通过一个基于定义的独立检查器，该检查器同时也验证了行列式恒等式 $(\det M)^2 = \gamma^6$。
3. 使用 Lean 4 及其数学库 Mathlib 进行的机器检查证明，确认了此类矩阵的存在性，且不依赖于未证明的公理或 sorry 占位符。

意义与主张
本文声称解决了阶数为 6 的存在性问题，这也是文献中此前未曾处理过的最小阶数。作者明确区分了此结果与“平方之和的魔方”（即行/列/对角线之和相等的网格）的存在性。虽然通过 Hardy–Littlewood 圆法已知存在 $6 \times 6$ 的互不相同的平方组成的魔方，但那些构造并不保证欧拉魔矩阵所需的正交条件 ($MM^t = \gamma I$)。

作者谦逊地表示，这项工作填补了正规欧达魔矩阵在小阶数分类中的特定空白。本文并不声称提供了适用于所有 $n$ 的通用构造，也不提出新的应用；其主要贡献是通过构造性证明和计算验证，显式地解决了阶数为 6 的情况。