The Geometry of Stochastic Fluid Dynamics
本文对随机几何力学的数学框架进行了教学性综述，追溯了其从确定性流体动力学到随机李传输平流（SALT）及其拉格朗日平均变体（LA-SALT）的演进过程，并最终应用这些概念开发了符合哈塞尔曼将气候分为确定性和随机成分范式的随机海洋-大气模型。
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地球的气候是一个由太阳驱动的庞大且剧烈波动的机器，大气与海洋在流体运动的复杂舞步中交换着热量与动量。为了预测这一系统未来的行为，科学家们构建了模拟这些流动的计算机模型。然而，这些模型面临着一个根本性的问题：现实世界包含了各种规模的旋涡和涡流，从巨大的洋流到微小而快速的阵风。计算机无法解析所有这些运动，因此科学家必须近似处理这些细微、不可见的运动对较大可见运动的影响。传统上，这些近似值被作为随机噪声添加到方程中，但这往往会破坏支配流体运动的深层物理定律，导致模型随着时间的推移而偏离现实。挑战在于，如何以一种尊重流体底层几何结构的方式引入不确定性，从而确保即使在模型无法观测到每一个细节时，仍能保持物理一致性。
在最近的一篇综述中，数学家达里尔·霍姆（Darryl Holm）概述了一个解决这一问题的新框架，称为随机几何力学。这种方法并非简单地向方程中添加随机数，而是从一开始就通过重写流体运动的基本定律来包含随机性，并以此保留核心的物理守恒定律。这项工作重点关注两种被称为 SALT 和 LA-SALT 的特定方法，旨在模拟大气与海洋之间的相互作用。第一种方法 SALT 将天气中不可预测且快速的运动视为一种随流体流动而携带的不确定性来源。它确保了即使流体粒子的路径是随机的，围绕流体环路的总体“环量”或自旋仍遵循与完美平滑、可预测世界相同的物理规则。这使得模型能够在不丧失流体动力学结构完整性的情况下，捕捉天气的混沌特性，尽管这是以失去能量守恒为代价的。
第二种方法 LA-SALT 更进一步，在数学上严谨地区分了“天气”与“气候”。在这个框架下，系统的平均行为（代表气候）被视为一种确定性的、可预测的运动。而不可预测的波动（代表天气）则被视为相对于这一平均值的偏差。值得注意的是，控制这些波动的方程表现为线性，这意味着它们比完整的混沌系统更容易求解和分析。这种分离使得科学家不仅可以计算气候的平均状态，还可以计算天气的方差和其他统计特性如何随时间演化。论文论证了该方法可以应用于用于研究厄尔尼诺现象的理想化海洋和大气模型，并且它保留了关键的几何结构，如开尔文环量定理，即便在随机表述中无法维持能量守恒。
作者展示了通过使用这些具有几何一致性的方法，他们可以推导出描述气候系统统计演化的方程，包括温度和速度的方差，且该过程是封闭且自洽的。这意味着模型可以预测不确定性本身是如何在流体内部相关性的驱动下增长或缩减的。最近使用这些模型的数值模拟证实了关于海洋能量分布的理论预测，特别是验证了数十年前假设的一种能量谱偏移。这种偏移至关重要，因为它解释了海洋如何吸收来自大气的能量，这一过程对于实现准确的长期气候模拟至关重要。通过将随机性植根于流体的几何结构之中，这些新模型为更可靠地理解和预测地球气候提供了一条充满希望的路径。
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