Products of point counts of higher genus curves over finite fields

技术摘要：高亏格曲线在有限域上点数乘积的研究

问题陈述
本文探讨了对原始 Birch 和 Swinnerton-Dyer (BSD) 猜想的推广。原始猜想将椭圆曲线 $E$ 在有限域上的点数乘积的渐近行为与其 Mordell–Weil 群的秩联系起来，具体而言，该猜想断言 $\prod_{p \le x} \frac{N_p}{p} \sim C (\log x)^{\text{rk}(E)}$ 当 $x \to \infty$ 时。作者试图为亏格 $g \ge 2$ 的光滑射影曲线以及阿贝尔簇（Abelian varieties）建立类似的渐近猜想。在高亏格情形下的一个主要挑战在于，渐近行为不仅由雅可比簇（Jacobian）的秩决定，还取决于曲线的 Sato–Tate 群的结构，特别是雅可比簇的 Néron–Severi 群的秩。

方法论
作者开发了一个基于 $L$-函数和欧拉乘积解析性质的猜想框架。其核心方法论依赖于：

1. Kurokawa 猜想： 他们利用了 Kurokawa (2012) 关于整个 $L$-函数在临界线上的欧拉乘积收敛性的猜想。具体而言，他们应用了 Kaneko–Koyama–Kurokawa (2023) 的一个精化版本，该版本预测了部分欧拉乘积在中心点 $s=1/2$（或平移后为 $s=1$）处的渐近行为，其形式取决于 $L$-函数的阶数以及其二阶矩。
2. 动机 $L$-函数与迹公式： 作者利用 Grothendieck–Lefschetz 迹公式，通过 Frobenius 特征值来表示点数 $N_p$。他们将点数的乘积与与曲线（或阿贝尔簇）相关的 $L$-函数的偏欧拉乘积的倒数联系起来。
3. Sato–Tate 群与外积平方： 一个关键步骤是分析外积平方 $L$-函数 $L(\wedge^2 X, s)$。作者利用 Sato–Tate 群 $ST(X)$ 与 Néron–Severi 群秩 $\text{rk}(\text{NS}(\text{Jac}(X)))$ 之间的关系。通过引用 Costa–Fite–Sutherland (2019)，他们确立了 $\text{rk}(\text{NS}(\text{Jac}(X)))$ 等于 $ST(X)$ 中元素特征多项式二次系数的一阶矩。
4. 渐近分析： 通过结合雅可比簇 $L$-函数欧拉乘积的猜想行为，以及通过 Kurokawa 猜想和 Tate 猜想导出的外积平方 $L$-函数的渐近行为，作者推导出了高亏格情形下所需的修正项。

主要贡献与结果

1. 高亏格曲线的猜想 (猜想 1.2)：
   本文对亏格 $g \ge 2$ 的光滑射影几何不可约曲线 $X$ 提出了如下猜想：
   $$\prod_{\substack{p \le x \\ p \notin S_X}} \frac{N_p}{p} \sim C (\log x)^{\text{rk}(\text{Jac}(X)) - \text{rk}(\text{NS}(\text{Jac}(X))) + 1}$$
   其中 $S_X$ 是坏素数集以及 $N_p=0$ 的素数集。

   • 指数的意义： 与仅由秩决定的椭圆曲线情形不同，这里的指数包含了一个修正项 $-\text{rk}(\text{NS}(\text{Jac}(X))) + 1$。由于对于具有非典型 Sato–Tate 群的曲线，$\text{rk}(\text{NS}(\text{Jac}(X)))$ 可能大于 1，因此该指数可能为零甚至为负。
   • 与 Sato–Tate 的关系： 项 $\text{rk}(\text{NS}(\text{Jac}(X)))$ 被识别为 Sato–Tate 群特征多项式二次系数的期望值，从而将点数的算术性质直接与 Frobenius 元的分布联系起来。

2. 阿贝尔簇的猜想 (猜想 1.3)：
   对于维数为 $g$ 的阿贝尔簇 $A$，作者提出：
   $$\prod_{\substack{p \le x \\ p \notin S_A}} \frac{N_p}{p^g} \sim C (\log x)^{\text{rk}(A)}$$

   • 区别： 作者指出，对于阿贝尔簇，乘积 $\prod N_p/p^g$ 正好对应于 $L(A, s)$ 在 $s=1$ 处偏欧拉乘积的倒数，而不需要额外的 Néron–Severi 修正项，因为阿贝尔簇的上同调是其第一上同理想的幂。

3. 数值证据：
   作者使用来自 LMFDB 的数据对猜想 1.2 进行了数值验证。他们绘制了不同曲线的 $\log(\prod N_p/p)$ 对 $\log \log P$ 的图表。

   • 典型情形： 对于具有 Sato–Tate 群 $USp(2g)$的曲线（其中$\text{rk}(\text{NS}) = 1$），斜率与 Mordell–Weil 秩相匹配。
   • 异常情形： 他们展示了 Sato–Tate 群不是 $USp(2g)$的例子（例如$SU(2) \times SU(2)$或$E_1$），在这些情况下$\text{rk}(\text{NS}) > 1$。在这些情形下，数值斜率与预测的负指数（例如$-1$和$-2$）相匹配，证实了点数的乘积可能随$x \to \infty$ 而衰减。

意义
本文声称其主要贡献在于提出了一个精确的渐近猜想，用于描述高亏格曲线，并考虑了 Sato–Tate 群对点数乘积的影响。这通过显式地用 Mordell–Weil 秩和 Néron–Severi 秩来表达指数 $r(X)$，完善了 Kurokawa–Tanaka (2022) 关于任意代数簇点数渐近行为的假设。这项工作强调，直接推广原始 BSD 猜想（仅使用秩）对于具有额外自同态或特定对称性的高亏格曲线是不适用的，而 Sato–Tate 群提供了必要的修正。这些结果是以猜想形式呈现的，依赖于欧拉乘积在临界线上的收敛性（Kurokawa 猜想）和 Tate 猜想，但在指数为负的情况下得到了数值数据的支持。