技术摘要：扩展并统一 Hamilton-Jacobi 可达性分析的基础任务

问题陈述

Hamilton-Jacobi 可达性（HJR）分析是基于微分博弈论的安全关键控制的基础框架。传统上，HJR 处理五个经典的有限时界任务：(I) 终止集（Terminal-set）、(II) 可达（Reach）、(III) 规避（Avoid）、(IV) 受约束的终止集（Constrained Terminal-set）以及 (V) 可达-规避（Reach-avoid）。虽然这些任务通过共享相同偏微分方程（PDE）结构的 Hamilton-Jacobi 终端值问题（HJ-TVP）来求解，但它们被视为具有特定边界条件的独立原语。

现有框架的一个显著局限在于，复杂的复合任务（例如由时序逻辑指定或涉及分段连续动力学的任务）通常无法通过简单地取这些经典任务值函数的最大值或最小值来解决。由于底层微分博弈的极小极大（minimax）性质，性能泛函之间的代数关系在对应的值函数中通常并不成立。因此，需要一种更通用的原语来统一这些任务，实现复合问题的严格值函数分解，并提供对经典 HJ-PDE 解的完整表征。

方法论

作者引入了**广义可达-规避（Generalized Reach-Avoid, GRA）**任务，由元组 $(r, q, \ell; T)$ 定义，其中：

• $r(x,t)$ 定义了一个目标管（target tube）（移动目标）。
• $q(x,t)$ 定义了一个约束管（constraint tube）（安全区域）。
• $\ell(x)$ 定义了一个终止集（terminal set）（在最终时刻 $T$ 的目标）。
• $T$ 是终端时间。

GRA 任务要求系统满足以下任一条件：

1. 在时刻 $T$ 之前到达目标管 $r$，且在到达时刻前始终处于约束管 $q$ 内；或者
2. 在时刻 $T$ 时处于终止集 $\ell$ 中，且在直至 $T$ 的过程中始终处于约束管 $q$ 内。

性能泛函 $J_{GRA}$ 被构建为捕捉这种“或（OR）”逻辑。$V_{GRA}$ 的值函数随后被表征为特定 HJ-TVP 的唯一连续粘性解。至关重要的是，GRA 任务底层的 Hamilton-Jacobi PDE 与经典的可达-规避任务的 PDE 完全相同，但其终端边界条件被推广以包含终止集函数 $\ell$。

该方法进一步建立了值函数分解定理（定理 1）。该定理表明，一个复合任务（由一个上游 GRA 任务跟随一个下游任务组成）的值函数可以通过将上游 GRA 任务的终端集函数修改为包含下游任务在切换时刻处的值函数来精确计算。

核心贡献

1. 引入 GRA 任务： 本文将 GRA 任务定义为一个基础原语，它严格扩展并统一了五种经典的 HJR 任务。通过设置特定参数（例如 $r = -\infty$ 或 $q = \infty$），可以将经典任务 (I) 至 (V) 恢复为 GRA 形式的特例。

2. 统一的 HJ-TVP 公式： 作者表明，GRA 任务的值函数是特定 HJ-TVP 的唯一粘性解，其中 PDE 保持标准的经典形式，但终端条件放宽为 $v(x, T) = \min\{q(x, T), \max\{r(x, T), \ell(x)\}\}$。这通过单一的边界条件结构统一了所有五种经典任务的数学处理。

3. 值函数分解（定理 1）： 一个关键的理论结果确立了复合任务（GRA 后接任意下游任务）的值函数可以表示为一个单一的 GRA 值函数。这是通过将终端集函数 $\ell$ 更新为 $\tilde{\ell}(x) = \max\{\ell(x), V_{downstream}(x, T)\}$ 来实现的。这使得计算复杂的时间任务（例如有时序逻辑的任务）成为可能，而无需解决单独的、不满足交换律的优化问题。

4. 表示的完备性（推论 2）： 本文证明了每一个足够正则的经典 HJ-PDE 粘性解都可以表示为一个具有适当选择的终端集函数 $\ell$ 的 GRA 任务的值函数。这表明 GRA 形式是“完备”的，因为它能够表示经典 PDE 的全解空间，而单个经典任务（如可达-规避）仅代表该空间的特定切片。

5. 处理分段连续动力学： 作者提出了一个迭代算法（算法 1）来计算具有随时间分段连续动力学系统（例如切换系统）的 GRA 值函数。这是通过在连续区间内顺序求解 GRA-TVP，并将切换时刻的值函数作为后续区间的新的终端集函数来实现的。

结果与示例

本文通过三个示例验证了该理论框架：

• 可达-规避或始终规避： 一个无人机场景，任务是到达着陆平台或无限期维持通信。结果表明，真实的价值函数（通过 GRA 计算）与单个“可达-规避”和“规避”值函数的最大值严格不同，证明了统一方法的必要性。
• 时序逻辑： 一个涉及时序可达-规避约束析取关系的多机器人仓库场景。分解定理允许通过链接 GRA 任务来解决复杂的规范，从而有效地处理时序逻辑结构。
• 分段连续动力学： 一个涉及药物输注循环（开/关周期）的药理学模型。迭代算法成功地在系统动力学不连续处缝合了值函数，展示了终端集函数作为动态规划“端口”的效用。

意义

本文声称 GRA 任务从任务规范和 PDE 视角来看，都是 HJR 的一种自然且统一的原语。

• 理论统一： 它解决了五种经典任务的碎片化问题，将其统一到一个框架下，并在比以往分离研究更弱的假设下建立了统一的理论结果（存在性、唯一性和连续性）。
• 实际效用： 它使得能够严谨地计算此前难以处理的复合任务的值函数，特别是那些涉及时序逻辑或切换动力学的任务。
• PDE 完备性： 它为标准的存在性定理提供了一个逆命题，表明 GRA 形式可以表示任何足够正则的经典 HJ-PDE 的解，从而“完成了” HJR 框架内可解任务的集合。

这项工作并不声称解决了 HJR 固有的维度灾难问题，而是为将 HJR 应用于日益复杂的控制问题提供了一个更鲁棒、更灵活的数学基础。