A left and right coherent ring with $\mathcal{PGF}(R)\subsetneq\mathcal{GP}(R)$

技术摘要：具有 $\text{PGF}(R) \subsetneq \text{GP}(R)$ 的左、右相干环

问题陈述
本文探讨了 Gorenstein 同调代数中一个关于环 $R$ 的三类模之间关系的根本问题：

1. $\text{GP}(R)$： Gorenstein 射影模（全非消灭射影复形的循环模）。
2. $\text{GF}(R)$： Gorenstein 平坦模（F-全非消灭平坦复形的循环模）。
3. $\text{PGF}(R)$： 射影解析的 Gorenstein 平坦模（F-全非消灭射影复形的循环模）。

已知对于任何环 $R$，都有 $\text{PGF}(R) \subseteq \text{GP}(R) \cap \text{GF}(R)$。Ding、Li 和 Mao 提出的一个问题（可追溯至 Holm）是：是否对于每个环，$\text{GP}(R) \subseteq \text{GF}(R)$ 均成立。Iacob 已证明 $\text{GP}(R) \subseteq \text{GF}(R)$ 等价于 $\text{GP}(R) = \text{PGF}(R)$。虽然 Holm 展示了如果 $R$ 是右相干且具有有限左有限射影维数，则该包含关系成立，但构造一个相干环（两侧均为相干）作为反例的问题仍然悬而未决。具体而言，本文旨在构造一个左、右相干环 $T$ 以及一个模 $G$，使得 $G \in \text{GP}(T)$ 但 $G \notin \text{GF}(T)$，从而证明 $\text{PGF}(T) \subsetneq \text{GP}(T)$。

方法论
该构造依赖于集合论组合学、布尔环理论和同调代数的结合。该方法分为三个主要阶段：

1. 集合论与环的构造（输入）：

   • 作者构造了一个特定的布尔环 $R = \text{Clop}(\Sigma)$，其中 $\Sigma$ 是 Cantor 立方 $2^\kappa$ 的有限支撑 $\sigma$-乘积。
   • 基数 $\kappa$ 根据 Beth 层级进行选择：$\kappa = (\beth_\omega(\Theta))^+$，其中 $\Theta \ge \aleph_\omega$。
   • 关键工具包括 Erdős–Rado 分割定理和 Hajnel 自由集定理。这些工具被用于证明 Ext 群的消失定理：对于所有 $n \ge 1$ 及任何集合 $J$，有 $\text{Ext}^n_R(m, R(J)) = 0$，其中 $m$ 是非孤立点 $0 \in \Sigma$ 处的求值理想。
   • 这种消失是通过对 $m$ 的 Čech 分辨式的“相对链接归纳法”（relative-link induction）建立的，避免了以往相关工作中需要的大基数公理（如强紧基数）。该证明利用“有限支撑 $\sigma$-乘积”来确保环保持相干性。

2. 同调构造（复形）：

   • 构造了简单模 $S = R/m$ 的一个删除自由分辨率 $F^\bullet$。
   • 利用 $\text{Ext}^n_R(S, R(J))$ 的消失性，作者证明了对于任何射影模 $P$，复形 $\text{Hom}_R(F^\bullet, P)$ 是正合的。
   • 在 $H^0(R^+ \otimes_R F^\bullet)$ 中识别出一个非零上同调类 $[\chi_0]$，其中 $R^+$ 是 $R$ 的特征对偶。
   • 引入对偶数环 $B = R[\epsilon]/(\epsilon^2)$。将复形 $F^\bullet$ 提升为 $B$ 上的一个一周期全非消灭复形 $(F_B)^\bullet$。非零类 $[\chi_0]$ 被传输到 $H^0(R^+ \otimes_B (F_B)^\bullet)$ 中的一个非零类。

3. 反例（输出）：

   • 构造一个下三角矩阵环 $T = \begin{pmatrix} R & 0 \\ B & B \end{pmatrix}$。
   • 利用 $R$ 的性质（布尔环，因此是相干的）以及 $B$ 在 $R$ 上的有限表示性质，证明 $T$ 是左、右相干的。
   • 定义一个模 $G = Z_2((F_T)^\bullet)$，它是通过由 $(F_B)^\bullet$ 在 $T$ 上诱导的复形的循环模。
   • 证明 $G$ 是强 Gorenstein 射影的（是强 Gorenstein 射影模的直和项，具体而言是单周期全非消灭射影复形的循环模）。
   • 至关重要的是，利用第 2 步中的非零上同调类，证明对于特定的 injective 右 $T$-模 $(CT)_T = (Te_R)^+$，有 $\text{Tor}^T_1((CT)_T, G) \neq 0$。由于 Gorenstein 平坦模必须满足对于所有 injective $E$，$\text{Tor}_1(E, G) = 0$，因此 $G$ 不是 Gorenstein 平坦的。

核心贡献与结果

• 主定理： 存在一个既是左相干又是右相干的环 $T$，以及一个左 $T$-模 $G$，使得 $G \in \text{GP}(T) \setminus \text{GF}(T)$。
• 严格包含： 因此，$\text{PGF}(T) \subsetneq \text{GP}(T)$。这从负面回答了关于是否对于所有相干环 $\text{GP}(R) = \text{PGF}(R)$ 成立的问题。
• ZFC 构造： 不同于以往依赖大基数公理（如强紧基数）的条件性结果，本构造完全在 ZFC（带有选择公理的 Zermelo-Fraenkel 集合论）框架内完成，使用了有限支撑 $\sigma$-乘积和 Beth 层级。
• 显式检测： 通过针对特定 injective 模（源自环之角部的特征对偶）的 Tor 演算，显式地检测到了 Gorenstein 平坦性的失效。

意义
本文为“在相干环上 Gorenstein 射影模总是 Gorenstein 平坦模”这一猜想提供了确定的反例。通过构造一个两侧皆为相干的环，作者表明 $\text{GP}(R) \subseteq \text{GF}(R)$ 并不是相干环的普遍性质，即使该环在“相干性”方面表现良好。这项工作澄清了 Gorenstein 同调维数的层级，并确立了在一般相干情形下，射影解析的 Gorenstein 平坦模类严格小于 Gorenstein 射影模类。利用分划演算（partition calculus）在特定布尔环上建立 Ext 消失性的方法，为在不依赖大基数假设的情况下构造同调反例提供了一种新颖的技术。