Higher order logarithms of Bessel operators and an extension problem

技术摘要：高阶 Bessel 算子的对数及其扩展问题

问题陈述
本文研究了定义在 $(0, \infty)$ 上且 $\lambda > -1$ 的 Bessel 算子 $B_\lambda = -\frac{d^2}{dx^2} + \frac{\lambda^2 - 1/4}{x^2}$。虽然分数幂 $B_\lambda^s$ 和对数 $\log B_\lambda$ 此前已有研究（特别是 Fu, Li, 和 Zhang [15]），但本研究旨在：

1. 定义并分析对于 $m \in \mathbb{N}$ 的高阶对数算子 $\log^m B_\lambda$。
2. 推导这些对数算子以及分数幂 $B_\lambda^s$（$s \in (-1, 1), s \neq 0$）的点值积分表示。
3. 建立 $B_\lambda^s$ 和 $B_\lambda^{-s}$ 在 $s \to 0^+$ 时关于对数算子 $\log^m B_\lambda$ 的渐近泰勒展开式。
4. 将 $\log B_\lambda$ 表征为特定扩展问题的解，该问题类似于 Caffarelli-Silvestre 关于分数拉普拉斯算子的扩展。

方法论
作者采用了 Hankel 变换 $h_\lambda$，它作为 Bessel 背景下的谱工具，类似于欧几里得背景下的傅里叶变换。算子 $B_\lambda$ 通过谱方式定义为 $h_\lambda(B_\lambda f)(x) = x^2 h_\lambda(f)(x)$。

关键方法论工具包括：

• 半群方法： 利用由 $-B_\lambda$ 生成的 Bessel 热半群 $\{W^\lambda_t\}_{t>0}$。其核 $W^\lambda_t(x, y)$ 涉及第一类修正 Bessel 函数 $I_\lambda$。
• 泛函演算： 通过谱乘子定义算子。对于函数 $\Phi$，$\Phi(B_\lambda)f = h_\lambda(\Phi(x^2)h_\lambda f)$。
• 积分表示： 分数幂 $B_\lambda^s$ 通过涉及半群差（对于 $s>0$）或半群本身（对于 $s<0$）的 Bochner 积分来表示。这些积分通过分解以隔离奇异性并确保绝对收敛。
• 扩展问题： 利用包含热核和半群的次级化公式（subordination formula），在上半平面 $(0, \infty) \times (0, \infty)$ 上构造函数 $u^\lambda_f(x, t)$。分析该扩展在 $t \to 0^+$ 时的行为以恢复对数算子。
• 渐近分析： 通过在 $s=0$ 处对分数幂算子关于参数 $s$ 求导，利用控制收敛定理和 Gamma 函数的性质来推导泰勒展开式。

主要贡献与结果

1. 点值表示（定理 1.1）：
   作者建立了 $s \in (0, 1)$ 和 $s \in (-1, 0)$ 时 $B_\lambda^s f(x)$ 的显式点值公式。这些公式涉及热核 $W^\lambda_t(x, y)$ 对函数 $f$ 及其局部平均值的积分。至关重要的是，该表示包含一个涉及 Bessel 热核与欧几里得热核 $W_t(x-y)$ 之差的“修正项”，这是由 Bessel 半群的非马尔可夫性质（即 $W^\lambda_t(1) \neq 1$）所必需的。

2. 高阶对数（定理 1.2）：
   本文定义了对于 $m \in \mathbb{N}$ 的高阶对数算子 $\log^m B_\lambda$。它提供了一个涉及以 $\log t$ 的幂次为权重的积分的 $(\log^m B_\lambda)f(x)$ 点值表示。作者指出，其证明比 [15] 中现有的关于一阶情况的证明更短，并将定义域扩展到了函数空间 $L^1((0, \infty), \frac{dy}{1+y}) \cap \text{Lip}^{\theta}_{\text{loc}, x}(0, \infty)$。

3. 渐近展开（定理 1.3）：
   研究推导了分数幂在 $s \to 0^+$ 时的渐近泰勒展开。具体而言，它证明了：
   $$\lim_{s \to 0^+} \frac{(m+1)!}{s^{m+1}} \left( B_\lambda^s f - \left( f + \sum_{j=1}^m \frac{s^j}{j!} (\log^j B_\lambda)f \right) \right) = (\log^{m+1} B_\lambda)f$$
   在 $L^p(0, \infty)$ 中对于 $1 < p \leq \infty$ 成立。对于 $B_\lambda^{-s}$ 也提供了类似的展开。这推广了 Chen [8] 关于欧几里得拉普拉斯算子的结果到 Bessel 背景。

4. 扩展问题表征（定理 1.4）：
   作者定义了一个扩展 $u^\lambda_f(x, t)$，并证明它满足退化椭圆方程 $(\partial_t^2 + \frac{1}{t}\partial_t)u^\lambda_f = B_{\lambda, x} u^\lambda_f$。主要结果将 Bessel 算子的对数表征为该扩展的边界极限：
   $$(\log B_\lambda)f(x) = -\lim_{t \to 0^+} (u^\lambda_f(x, t) + f(x)\log t) + f(x)K(x)$$
   其中 $K(x)$ 是一个涉及欧拉常数 $\gamma$、对数项以及热核积分的特定函数。这一结果平行于 Chen, Hauer, 和 Weth [9] 建立的关于 $\log(-\Delta)$ 的扩展定理。

意义与主张
本文声称为 Bessel 背景下的高阶对数算子提供了一个全面的框架。作者强调，他们的方法产生了已知结果（特别是 $\log B_\lambda$ 的表示）的更短证明，并将这些结果扩展到了更高阶和更广泛的函数空间。

其意义在于：

• 推广： 将对数算子的理论从欧几里得拉普拉斯算子扩展到 Bessel 算子，这在半线上的调和分析中是基础性的。
• 统一： 使用 Hankel 变换在单一谱框架内将分数幂、对数算子和扩展问题联系起来。
• 技术精确性： 提供了严谨的点值表示，以处理 Bessel 热半群特有的奇异性和非马尔可夫性质，这些性质与欧几里得情况不同。

作者并未提出新的应用或实验设置，而是专注于 Bessel 算子相关算子理论和调和分析的理论发展。这项工作建立并完善了现有文献，特别是 Fu, Li, 和 Zhang [15] 以及 Chen [8, 9] 的工作。