Coupled Optimal Transport with Landmark Constraints

技术摘要：带有地标约束的耦合最优传输

问题陈述
现有的最优传输（Optimal Transport, OT）模型主要寻求在两个概率分布之间最小化预设的传输代价或失真。虽然这些模型在分布匹配方面非常有效，但仅通过最小化代价往往无法识别出具有几何意义的变换。例如，在图像或形状配准中，一个由代价驱动的映射可能会沿着几何路径较短但语义错误的路径移动质量（例如，将不同的解剖部分进行匹配）。相反，仅依赖稀疏标注地标的方法往往无法捕捉全局分布演变或控制变化的底层变形场。本文旨在解决如何恢复一个既能满足全局分布对齐，又能满足由稀疏地标提供的局部几何约束的连贯变形场的问题。

方法论
作者提出了一种全新的**耦合最优传输（Coupled Optimal Transport, COT）**框架，该框架统一了传输计划的优化与变形场的估计。

• 模型构建： 该框架引入了一种基于变形的传输视角。令 $u: \Omega \to \mathbb{R}^p$ 为变形场，且 $T_u = \text{Id} + u$ 为其关联的传输映射。给定一组已标注的地标对 $S = \{(x_i, y_i)\}_{i=1}^m$，该模型在耦合集合 $\Pi(\mu, \nu)$ 和 Sobolev 变形空间 $U$ 上最小化泛函 $F(\pi, u)$：
  $$\inf_{\pi \in \Pi(\mu, \nu), u \in U} F(\pi, u)$$
  该泛函由三个主要部分组成：

  1. 耦合传输代价： 结合了经典传输代价 $c(x, y)$ 与变形一致性惩罚项 $h(T_u(x) - y)$ 的加权组合。该项确保传输计划 $\pi$ 与变形场 $u$ 保持一致。
  2. 地标监督： 项 $\sum w_i \rho(A_i^r(u) - \Delta_i^{lm})$ 用于惩罚观测到的地标位移与变形场局部平均值（通过观测算子 $A_i^r$）之间的差异。
  3. 正则化： 一个弹性能量项 $E_{el}(u)$（线性弹性能量），用以促进变形场的空间相干性和平滑性，从而促进稀疏地标信息在整个定义域内的传播。

• 理论特性：

  • 适定性： 作者在温和条件下（例如 $\mu$ 的绝对连续性、弹性能量的强制性）证明了极小值 $(\pi^\star, u^\star)$ 的存在性。
  • 极限行为： 对模型进行了分析，研究了当平衡参数 $\alpha \to 1$（变形主导）以及 $\alpha \to 0$（代价主导）时的情形。当 $\alpha \to 0$ 时，模型退化为一个解耦问题，即传输计划最小化代价，而变形最小化地标损失，两者相互独立，此时耦合项充当解耦极小值之间的选择准则。
  • 命题 2.1： 在平方欧几里得代价下，证明了该耦合问题等价于最小化一个涉及目标测度与由松弛变形映射作用于源测度后的推前测度之间的 Wasserstein 距离，并加上正则化项的泛函。

• 数值算法：

  • 离散化： 作者使用有限元法（FEM）处理变形场，采用连续张量积 $Q_1$ 元。测度被离散化为加权原子测度。
  • 交替迭代： 通过交替方案计算解：
    1. 传输更新： 固定 $u$，使用带有熵正则化或 Bregman 型正则化（KL 散度）的类似 Sinkhorn 的迭代来更新传输计划，以处理边际约束。
    2. 变形更新： 固定 $\pi$，通过求解由一阶最优性条件导出的线性系统来更新变形系数（由于采用了二次形式的 $h$ 和 $\rho$）。
  • 收敛性： 理论分析证明了迭代序列是有界的，目标函数单调递减，且相邻迭代之间的差异趋于零。对于熵正则化变体，该序列被证明收敛至一个约束临界点。

核心贡献

1. 新颖框架： 提出了一个统一的耦合 OT 模型，集成了传输计划优化与变形场估计，架起了基于地标的配准与基于传输的分布匹配之间的桥梁。
2. 理论基础： 在一般变分设定下确立了模型的良定义性，并通过极限分析刻画了其与经典 OT 的关系。
3. 算法开发： 开发了一种基于有限元的数值算法，并附带系统的收敛性分析，包括 KL 近端（KL-proximal）和熵正则化变体。
4. 稀疏监督： 展示了结合全局分布匹配与稀疏地标监督，恢复稠密且具有几何意义的变形场的能力。

实验结果
通过两类实验验证了所提方法的有效性：

1. 合成实验： 使用已知地面真值（ground-truth）变形场的鱼形分布。
   • 指标： 变形误差（$L_2$）、留出地标误差以及密度误差（$L_1$）。
   • 发现： COT 方法（包括 KL 近端和熵正则化变体）始终优于“OT (barycentric)”（缺乏地标约束）和“仅地标”（缺乏全局分布约束），尤其是在稀疏地标情形下。该方法成功恢复了地面真值变形，且随着地标数量的增加，误差不断降低。观察到目标函数和迭代过程的收敛，这与理论预测一致。
2. 真实形状匹配： 应用于带有手动指定地标的手写数字图像（MNIST）。
   • 发现： 与基准方法相比，COT 生成的变形场具有空间相干性，并与给定的地标对应关系保持一致。虽然“OT (barycentric)”捕捉了全局分布但产生了不规则场，且“仅地标”仅在地标附近产生平滑场，但 COT 成功地将分布信息和地标信息传播到了整个源支持集。

意义与主张
本文声称所提出的框架为基于地标的配准与基于传输的分布匹配提供了一个原则性的联系。通过通过互一致性约束将传输计划与变形场耦合，该方法实现了从稀疏几何监督中恢复传输映射。作者断言，该方法克服了仅最小化传输代价（可能导致语义错误的路径）以及仅依赖稀疏地标（可能无法捕捉全局变形）的局限性。这项工作确立了模型的理论有效性，并展示了其在形状匹配任务中的实际应用价值，为需要几何意义明确的分布变换的应用领域提供了一种鲁棒的解决方案。

作者也谦逊地指出，尽管该框架具有通用性，但目前的数值实现是针对低维空间域设计的。他们将开发适用于高维及大规模问题的方法（可能利用神经网络参数化）作为未来的研究方向。