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Degeneracy beyond the parity-symmetry protection in the Lipkin-Meshkov-Glick model

本文表明，在非谐 Lipkin-Meshkov-Glick 模型中，即使当宇称对称性因一阶基态量子相变而破缺时，能量双重态中的指数级简并性仍能持续存在，这一现象归因于经典相空间中潜在的 $\mathbb{Z}_2$ 反射对称性，该对称性在量子系统中表现为一种反幺正对称性。

原作者： Jamil Khalouf-Rivera, Miguel Carvajal, Francisco Pérez-Bernal

发布于 2026-08-24

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CC BY 4.0

原作者： Jamil Khalouf-Rivera, Miguel Carvajal, Francisco Pérez-Bernal

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在量子世界中，对称性的规则往往扮演着无声守护者的角色，确保系统中的能级以完美的成对形式出现。想象一个景观，一个小球可以滚入两个完全相同的谷底；如果景观是完美对称的，小球在两个谷底停留的机会相等，从而创造出一种被称为“简并”的平衡状态。几十年来，物理学家已经了解到，在某些模型中，这种配对是由一种特定的镜像对称性（称为“宇称”）所保护的，这种对称性会将系统翻转过来。如果这面镜子被打破，两个谷底的深度就会变得不同，小球会滚向较深的一个，完美的配对也会随之消失。这一原理一直是理解量子系统行为的基础，特别是在用于描述从原子核到链状相互作用自旋等各种模型的过程中。

然而，一项新的研究挑战了“打破镜像对称必然会破坏配对”的假设。研究人员发现，即使当景观发生倾斜、导致两个谷底不再相同时，另一种隐藏的秩序仍能涌现出来，以保持能级的配对。通过调整一个著名的理论模型——利普金-梅什科夫-格里克（Lipkin-Meshkov-Glick）模型，团队发现了一种方法，可以在打破传统镜像对称的同时，保留另一种更微妙的对称性。这种新对称性表现为一种横向的反射，而非纵向的反射，从而允许系统在特定的高能区域内维持其配对态。这一发现表明，量子世界比此前认为的更加灵活，为设计即使在移除常规保护机制后仍能使这些微妙配对得以生存的系统提供了新途径。

研究人员首先从一个描述大量粒子相互作用的模型开始，这种设置常用于模拟复杂的磁性材料或核行为。在该模型的标准形式中，它展现出一个相位，其中基态（即最低能量构型）会分裂成两个相同的选项，这种现象被称为对称性破缺相。这种分裂通常由前述的宇称对称性所保护。团队决定对系统引入扰动，在数学描述中添加一项来倾斜能量景观，从而有效地打破宇称对称性。在典型情景下，人们会预期这种倾斜会导致其中一个能量态变得更低，从而破坏配对。

令他们惊讶的是，团队发现虽然最低能量态确实发生了分离，但系统的另一个能谱区域表现得却不同。在高能激发态中，粒子继续形成完美的配对，尽管此时宇称对称性已经消失。这种情况发生在模型的特定部分，即系统经历所谓的“激发态量子相变”时。这些相变是系统能量水平随能量增加而发生突变的时刻，类似于水从冰变为液体的过程，只不过这种变化发生在量子态内部。研究人员识别出，在这一高能区域，系统在能量景观中拥有两个对称的峰值。虽然由于倾斜，底部的谷底不再相同，但顶部的峰值在水平轴上仍然是彼此的镜像。

这种水平反射是这项新发现的关键。在量子领域，这种反射对应于一种反幺正对称性，这是一种复杂的数学属性，确保了两个状态保持配对。研究人员证明，这种对称性保护了简并性，这意味着随着系统的规模增大，配对态之间的能级差变得微乎其微。他们通过模拟增加粒子数量的模型验证了这一点，观察到配对态之间的能隙呈指数级缩小，这是真正量子简并的标志。这种行为被证实是稳健的，即使在系统被推入传统宇称对称性被完全打破的机制中时，依然能够持续存在。

研究还探讨了系统在不同能量区域之间移动时的行为。通过追踪粒子的平均位置和动量，团队绘制了系统从处于单个谷底的状态过渡到探索两个峰顶状态的过程。他们发现，系统的行为受两个截然不同的临界能量点支配：在第一个点之下，粒子被限制在谷底；在两个点之间，系统表现出一种复杂的非简并行为；而一旦能量升至第二个临界点之上，粒子进入存在两个峰顶的区域，配对现象便会重新出现，并受到新的水平对称性的保护。这一点通过各种测量得到了证实，包括系统对参数微小变化的敏感性，其显示出的尖锐峰值恰好出现在预测的相变位置。

这项工作的意义超越了该特定模型本身。研究人员指出，类似的现象可能存在于其他物理系统中，例如超导电路或参量振荡器，在这些系统中，控制对称性对于量子计算至关重要。在量子退火过程中（一种用于解决复杂优化问题的过程），有时需要打破对称性以避免陷入不希望进入的状态。这项研究表明，人们可以通过打破常规的宇澄清对称性来引导系统，同时又不丢失高能区域中那些有益的配对态。这为设计更灵活、更具韧性的量子系统打开了大门，使其即使在环境受到扰动时也能保持特定的量子特性。

团队的研究结果是通过严密的数值模拟获得的，他们以极高的精度计算了系统的能级。他们通过改变粒子数量和相互作用强度来检查发现，确保观察到的配对并非偶然现象，而是该模型在特定条件下的基本特征。研究证实，尽管传统的镜像对称性被打破了，但另一种更微妙的对称性取而代之，保护了量子态。这一发现为我们理解量子系统如何自我组织增添了新的维度，表明简并性可以以意想不到的方式存在，并受控于那些并不显而易见的对称性。

最终，这项工作提供了一个量子力学如何令我们惊喜的清晰范例。它表明，控制能量态配对的规则并非简单的“是非题”，而是更为细致的。通过以恰当的方式倾斜景观，研究人员找到了一种在打破一条规则的同时保留另一条规则的方法，从而维持了量子世界的微妙平衡。这一洞察对于依赖于精确控制量子态的未来技术而言可能具有重要价值，为工程师和物理学家提供了操纵物质最基本层面行为的新工具。这项研究证明了探索已知模型边缘的力量，揭示了即使在倾斜的景观中，量子世界也能找到保持其配对的方式。

问题陈述
在量子力学中，简并模式通常由系统对称性产生。在著名的 Lipkin-Meshkov-Glick (LMG) 模型中，对称性破缺相的特征是双重简并态（宇称双重态），这种状态受宇称对称性 ( $\mathbb{Z}_2$ ) 的保护。然而，一个基本问题仍然存在：如果宇称对称性被显式破坏，这种指数级简并（准简并）是否仍能持续存在？虽然一维系统通常不会表现出真正的简并（除非在特定框架下），但它们会表现出一种被称为准简并的相邻能级间的指数级接近。本文研究了在 LMG 框架内，一个破坏宇称的哈密顿量是否仍能支持一个简并的激发态相，如果可以，那么是什么对称性在起保护作用。

研究方法
作者结合了平均场分析和精确对角化方法，来研究一个修正后的 LMG 哈密顿量。

模型构建： 研究始于标准的 LMG 哈密顿量，并引入了一个非谐项 ( $\hat{n}^2$ ) 以诱导第二次激发态量子相变 (ESQPT)。至关重要的是，哈密顿量中加入了一个破坏宇称的相互作用项 $\hat{V}_{int}$ 。这导致了一个具有三个控制参数 ( $\xi, \alpha, \delta$ ) 和四个相互作用项的变形哈密顿量。
平均场分析： 利用相干态（本征态）形式化方法，作者将量子系统映射到其相空间中的经典极限。他们分析了经典能量面以识别驻点（极小值、极大值、鞍点）和分界线（separatrices），这些要素定义了不同的动力学相。这使得他们能够可视化随着控制参数的变化，系统的拓扑结构如何发生变化，特别是寻找在破坏宇程的情况下依然存在的相空间对称性。
量子表征： 为了表征量子相变和简并的性质，作者计算了不同粒子数 ( $N$ $N$ ) 下的若干观测值：
- 能量间隙： 他们计算了相邻能级之间的能量差，以验证随着 $N$ 增加，能隙呈现指数级缩放 ( $e^{-aN}$ )，从而确认了准简并性。
- 期望值： 他们分析了数算符 ( $\hat{n}$ ) 和角动量投影 ( $\hat{J}_x, \hat{J}_y$ ) 的期望值，以绘制系统跨越不同能量区域的行为图谱。
- 量子保真度易感性 (QFS)： 他们计算了 QFS 以检测与 ESQPT 相关的非解析性。为了处理微扰论中的简并问题，他们在简并子空间内对哈密顿量的相互作用部分进行了对角化。

关键结果

无宇称下的简并存在性： 研究表明，引入破坏宇称项 $\hat{V}_{int}$ 并不会消除高能激发态中的指数级简并。尽管哈密顿量不再守恒宇称，系统仍保留了一个具有双重简并态（准简并双重态）的相。
识别保护对称性： 平均场分析表明，虽然宇称对称性 ( $\Pi: (q, p) \to (-q, -p)$ ) 被破坏了，但系统在经典相空间中保留了一个反射对称性 $S: (q, p) \to (q, -p)$ 。这对应于量子系统中的一个反幺正对称性，具体表现为角动量 $y$ 分量的反射 ( $\hat{J}_y \to -\hat{J}_y$ )。这种反幺正 $\mathbb{Z}_2$ 对称性被确定为保护简并性的机制。
ESQPT 结构： 该系统展现了丰富的谱结构，包括一个二阶基态量子相变 (GSQPT) 和两个截然不同的 ESQPT。
- 第一个 ESQPT 与原点处的鞍点相关。当 $\alpha=0$ 且 $\delta=0$ 时，该鞍点分隔了两个对称的势阱；对于非零的 $\delta$ ，两个势阱的深度不同，并在 $\delta=0$ 处发生一阶 GSQPT，此时两个势阱共存。
- 第二个 ESQPT 与系统边界（分界线）相关，此处出现了两个对称的极大值。
- 简并性在高于第二个 ESQPT 的临界能量时得以保持，此时系统绕着由 $S$ 对称性保护的两个对称极大值运行。
定标行为： 数值结果证实，简并双重态之间的能量间隙随系统尺寸 ( $N$ ) 指数级衰减，这与在宇称守恒模型中观察到的行为一致。量子保真度易感性显示出与两个 ESQPT 对应的明显峰值，其中第二个 ESQPT 对对称性保护的简并性特别敏感。

意义与主张
作者声称，这项工作扩展了对超越标准宇称守恒要求的量子相变中简并现象的理解。

理论见解： 本文确立了如果存在另一种反幺正对称性（具体为相空间中的反射对称性），则在破坏宇称的哈密顿量中也可以存在简并的量子相。这为在一维系统中提供了一种新的保护准简并性的机制。
对量子技术的意义： 作者指出，这些发现与量子计算范式（如量子退火）相关。在这些背景下，有时会加入额外的相互作用来破坏宇称，以避免那些使绝热近似或微扰论变得复杂的简并情况。这项工作表明，如果其他对称性（如反幺正 $S$ 对称性）仍然完好，仅仅破坏宇称可能不足以消除简并。
普适性： 作者指出，在其他系统（如超导电路和宇称非对称 Kerr 参数振荡器）中也观察到了类似的由反幺正对称性保护的简并相，这表明这是一个更广泛的量子多体物理现象。

总之，本文证明了当 LMG 模型被变形以破坏宇称时，仍然支持一个简并的激发态相。这种简并并非偶然，而是由源自系统经典极限的反幺正反射对称性严格保护的，这为理解对称性与谱简并性在量子相变中的关系提供了更精细的视角。

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