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Degeneracy beyond the parity-symmetry protection in the Lipkin-Meshkov-Glick model

यह शोध पत्र प्रदर्शित करता है कि एक अनहार्मोनिक लिपकिन-मेश्कोव-ग्लिक मॉडल में, ऊर्जा डबलट्स (energy doublets) में घातांकीय विरूपण (exponential degeneracy) तब भी बना रह सकता है जब प्रथम-क्रम के ग्राउंड-स्टेट क्वांटम फेज ट्रांज़िशन द्वारा पैरिटी समरूपता (parity symmetry) को तोड़ा जाता है, जो कि एक शास्त्रीय चरण स्थान (classical phase space) में अंतर्निहित $\mathbb{Z}_2$ परावर्तन समरूपता के कारण होने वाली घटना है जो क्वांटम प्रणाली में एक एंटी-यूनिटरी समरूपता के रूप में प्रकट होती है।

मूल लेखक: Jamil Khalouf-Rivera, Miguel Carvajal, Francisco Pérez-Bernal

प्रकाशित 2026-08-24

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Jamil Khalouf-Rivera, Miguel Carvajal, Francisco Pérez-Bernal

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

क्वांटम दुनिया में, समरूपता (symmetry) के नियम अक्सर एक मूक संरक्षक के रूप में कार्य करते हैं, यह सुनिश्चित करते हुए कि किसी प्रणाली में ऊर्जा स्तर पूर्ण जोड़ों में दिखाई देते हैं। एक ऐसे परिदृश्य की कल्पना करें जहाँ एक गेंद दो समान घाटियों में से एक में लुढ़क सकती है; यदि परिदृश्य पूरी तरह से सममित है, तो गेंद के पास दोनों में से किसी एक में विश्राम करने का समान अवसर होता है, जो संतुलन की एक अवस्था बनाता है जिसे विजातीयता (degeneracy) कहा जाता है। दशकों से, भौतिकविदों ने समझा है कि कुछ मॉडलों में, यह युग्मन (pairing) एक विशिष्ट प्रकार की दर्पण समरूपता द्वारा संरक्षित होता है जिसे 'पैरिटी' (parity) कहा जाता है, जो प्रणाली को अंदर से बाहर की ओर पलट देती है। यदि यह दर्पण टूट जाता है, तो दो घाटियाँ अलग-अलग गहराई की हो जाती हैं, गेंद गहरी वाली घाटी की ओर लुढ़क जाती है, और पूर्ण युग्मन गायब हो जाता है। यह सिद्धांत यह समझने का एक आधार स्तंभ रहा है कि क्वांटम प्रणालियाँ कैसे व्यवहार करती हैं, विशेष रूप से उन मॉडलों में जिनका उपयोग परमाणु नाभिक से लेकर एक श्रृंखला में परस्पर क्रिया करने वाले स्पिन तक सब कुछ वर्णित करने के लिए किया जाता है।

हालाँकि, एक नया अध्ययन इस धारणा को चुनौती देता है कि इस दर्पण समरूपता को तोड़ने से हमेशा युग्मन नष्ट हो जाना चाहिए। शोधकर्ताओं ने पाया है कि भले ही परिदृश्य को इस तरह झुका दिया गया हो कि दो घाटियाँ अब समान नहीं हैं, फिर भी एक अलग प्रकार की छिपी हुई व्यवस्था उभर सकती है ताकि ऊर्जा स्तरों को युग्मित रखा जा सके। एक प्रसिद्ध सैद्धांतिक मॉडल जिसे लिपकिन-मेश्कोव-ग्लिक (Lipkin-Meshkov-Glick) मॉडल कहा जाता है, उसमें बदलाव करके, टीम ने पारंपरिक दर्पण समरूपता को तोड़ने के साथ-साथ एक अलग, अधिक सूक्ष्म समरूपता को बनाए रखने का एक तरीका खोजा। यह नई समरूपता एक ऊर्ध्वाधर रेखा के बजाय एक क्षैतिज रेखा के माध्यम से प्रतिबिंब के रूप में कार्य करती है, जिससे प्रणाली एक विशिष्ट उच्च-ऊर्जा क्षेत्र में अपने युग्मित राज्यों को बनाए रखने में सक्षम होती है। यह खोज बताती है कि क्वांटम दुनिया पहले की तुलना में अधिक लचीली है, जो ऐसे सिस्टम को इंजीनियर करने के नए तरीके प्रदान करती है जहाँ ये नाजुक युग्मन सामान्य सुरक्षा हटने के बाद भी जीवित रहते हैं।

शोधकर्ताओं ने अपनी जांच की शुरुआत एक ऐसे मॉडल के साथ की जो परस्पर क्रिया करने वाले कणों के संग्रह का वर्णन करता है, यह एक सेटअप है जिसका उपयोग अक्सर जटिल चुंबकीय सामग्रियों या परमाणु व्यवहार के अनुकरण के लिए किया जाता है। अपने मानक रूप में, यह मॉडल एक ऐसी अवस्था प्रदर्शित करता है जहाँ निम्नतम ऊर्जा विन्यास (ground state) दो समान विकल्पों में विभाजित हो जाता है, जिसे 'ब्रोकन-सिमेट्री फेज' (broken-symmetry phase) कहा जाता है। यह विभाजन आमतौर पर ऊपर वर्णित पैरिटी समरूपता द्वारा संरक्षित होता है। टीम ने प्रणाली में एक व्यवधान उत्पन्न करने का निर्णय लिया, जिसमें गणितीय विवरण में एक पद (term) जोड़ा गया जिसने ऊर्जा परिदृश्य को झुका दिया, जिससे प्रभावी रूप से पैरिटी समरूपता टूट गई। एक सामान्य परिदृश्य में, कोई अपेक्षा करेगा कि यह झुकाव एक ऊर्जा अवस्था को दूसरी से कम कर देगा, जिससे युग्मन नष्ट हो जाएगा।

उनकी आश्चर्यजनक खोज यह थी कि जबकि निम्नतम ऊर्जा अवस्थाएँ वास्तव में अलग हो गईं, प्रणाली का एक अलग क्षेत्र ऊर्जा स्पेक्ट्रम के व्यवहार को अलग तरह से प्रदर्शित करता है। उच्च-ऊर्जा उत्तेजित अवस्थाओं (excited states) में, कणों ने निरंतर पूर्ण जोड़े बनाना जारी रखा, भले ही पैरिटी समरूपता चली गई थी। यह एक विशिष्ट भाग में हुआ जहाँ प्रणाली 'एक्साइटेड-स्टेट क्वांटम फेज ट्रांजिशन' (excited-state quantum phase transitions) से गुजरती है। ये वे क्षण हैं जहाँ ऊर्जा बढ़ने के साथ प्रणाली के ऊर्जा स्तरों की प्रकृति अचानक बदल जाती है, ठीक वैसे ही जैसे पानी बर्फ से तरल में बदल जाता है, लेकिन यह क्वांटम अवस्थाओं के भीतर होता है। शोधकर्ताओं ने पहचाना कि इस उच्च-ऊर्जा क्षेत्र में, प्रणाली के ऊर्जा परिदृश्य में दो सममित शिखर (peaks) होते हैं। जबकि झुकाव के कारण नीचे की घाटियाँ अब एक जैसी नहीं थीं, ऊपर के शिखर एक क्षैतिज अक्ष के पार एक-दूसरे के दर्पण प्रतिबिंब बने रहे।

यह क्षैजंत प्रतिबिंब (horizontal reflection) इस नई खोज की कुंजी है। क्वांटम जगत में, यह प्रतिबिंब एक एंटी-यूनिटरी समरूपता (anti-unitary symmetry) के अनुरूप है, जो एक जटिल गणितीय गुण है जो यह सुनिश्चित करता है कि दो अवस्थाएँ युग्मित रहें। शोधकर्ताओं ने प्रदर्शित किया कि यह समरूपता विजातीयता (degeneracy) को संरक्षित करती है, जिसका अर्थ है कि जैसे-जैसे प्रणाली बड़ी होती जाती है, युग्मित अवस्थाओं के बीच ऊर्जा का अंतर नगण्य हो जाता है। उन्होंने इसे कणों की बढ़ती संख्या के साथ मॉडल का अनुकरण करके सत्यापित किया, यह देखते हुए कि युग्मित अवस्थाओं के बीच का ऊर्जा अंतराल तेजी से (exponentially) कम हो गया, जो वास्तविक क्वांटम विजातीयता का एक लक्षण है। यह व्यवहार सुदृढ़ (robust) पाया गया, जो उस शासन में भी बना रहा जहाँ पारंपरिक पैरिटी समरूपता पूरी तरह से टूट गई थी।

अध्ययन ने यह भी पता लगाया कि प्रणाली विभिन्न ऊर्जा क्षेत्रों के बीच कैसे चलती है। कणों के औसत स्थान और संवेग (momentum) का पता लगाकर, टीम ने मानचित्रित किया कि प्रणाली एक एकल घाटी में बैठने की अवस्था से दो शिखरों की खोज करने वाली अवस्था के बीच कैसे संक्रमण करती है। उन्होंने पाया कि प्रणाली का व्यवहार दो अलग-अलग महत्वपूर्ण ऊर्जा बिंदुओं (critical energy points) द्वारा नियंत्रित होता है। पहले बिंदु से नीचे, कण घाटियों के भीतर सीमित होते हैं। दोनों बिंदुओं के बीच, प्रणाली एक जटिल, गैर-विजातीय (non-degenerate) तरीके से व्यवहार करती है। लेकिन एक बार जब ऊर्जा दूसरे महत्वपूर्ण बिंदु से ऊपर उठ जाती है, तो कण उस क्षेत्र में प्रवेश करते हैं जहाँ दो शिखर मौजूद होते हैं, और युग्मन पुन: प्रकट होता है, जो नई क्षैतिज समरूपता द्वारा संरक्षित होता है। इसे विभिन्न मापों के माध्यम से भी पुष्ट किया गया था, जिसमें प्रणाली की उसके मापदंडों में छोटे परिवर्तनों के प्रति संवेदनशीलता शामिल थी, जिसने ठीक वहीं तीक्ष्ण शिखर दिखाए जहाँ चरण संक्रमण (phase transitions) की भविष्यवाणी की गई थी।

इस कार्य के निहितार्थ केवल इस विशिष्ट मॉडल तक ही सीमित नहीं हैं। शोधकर्ताओं ने नोट किया कि अन्य भौतिक प्रणालियों में भी इसी तरह की घटनाएँ मौजूद हो सकती हैं, जैसे कि सुपरकंडक्टिंग सर्किट या पैरामीट्रिक ऑसिलेटर, जहाँ क्वांटम कंप्यूटिंग के लिए समरूपता को नियंत्रित करना महत्वपूर्ण है। क्वांटम एनीलिंग (quantum annealing) में, जो जटिल अनुकूलन समस्याओं को हल करने के लिए उपयोग की जाने वाली एक प्रक्रिया है, कभी-कभी अवांछित अवस्थाओं में फंसने से बचने के लिए समरूपता को तोड़ना आवश्यक होता है। यह अध्ययन बताता है कि एक व्यक्ति प्रणाली को निर्देशित करने के लिए सामान्य पैरिटी समरूपता को तोड़ सकता है, बिना उच्च-ऊर्जा क्षेत्रों में लाभकारी युग्मित अवस्थाओं को खोए। यह अधिक लचीले और लचीले क्वांटम सिस्टम को डिजाइन करने का एक द्वार खोलता है, जो विशिष्ट क्वांटम गुणों को बनाए रखने में सक्षम हैं, भले ही वातावरण बाधित हो।

टीम के परिणाम अत्यधिक सटीकता के साथ प्रणाली के ऊर्जा स्तरों की गणना करते हुए कठोर संख्यात्मक सिमुलेशन (numerical simulations) के माध्यम से प्राप्त किए गए। उन्होंने अपने निष्कर्षों की जाँच कणों की संख्या और अंतःक्रियाओं की शक्ति को बदलकर की, यह सुनिश्चित करते हुए कि देखा गया युग्मन कोई संयोग नहीं बल्कि इस मॉडल की एक मौलिक विशेषता है। अध्ययन पुष्टि करता है कि जबकि पारंपरिक दर्पण समरूपता टूट गई थी, एक अलग, अधिक सूक्ष्म समरूपता ने इसे बदलने के लिए स्थान ले लिया था। यह खोज हमें यह समझने में एक नया आयाम जोड़ती है कि क्वांटम प्रणालियाँ स्वयं को कैसे व्यवस्थित करती हैं, यह दिखाते हुए कि विजातीयता (degeneracy) अप्रत्याशित तरीकों से जीवित रह सकती है, जो उन समरूपताओं द्वारा निर्देशित होती है जो तुरंत स्पष्ट नहीं होती हैं।

अंत में, यह कार्य इस बात का एक स्पष्ट उदाहरण प्रदान करता है कि क्वांटम यांत्रिकी हमें कैसे आश्चर्यचकित कर सकती है। यह दिखाता है कि ऊर्जा अवस्थाओं के युग्मन को नियंत्रित करने वाले नियम केवल समरूपता के 'हाँ या ना' जैसे सरल नहीं हैं। परिदृश्य को बिल्कुल सही तरीके से झुकाकर, शोधकर्ताओं ने एक नियम को तोड़ने के साथ-एक अन्य को बनाए रखने का तरीका खोजा, जिससे क्वांटम दुनिया के नाजुक संतुलन को संरक्षित किया जा सका। यह अंतर्दृष्टि भविष्य की उन तकनीकों के लिए मूल्यवान साबित हो सकती है जो क्वांटम अवस्थाओं के सटीक नियंत्रण पर निर्भर करती हैं, जो इंजीनियरों और भौतिकविदों को पदार्थ के सबसे मौलिक स्तर पर पदार्थ के व्यवहार को हेरफेर करने के लिए एक नया उपकरण प्रदान करती है। यह अध्ययन ज्ञात मॉडलों के किनारों को खोजने की शक्ति का एक प्रमाण है, जो प्रकट करता है कि एक झुके हुए परिदृश्य में भी, क्वांटम दुनिया अपने जोड़ों को एक साथ रखने का रास्ता खोज लेती है।

समस्या विवरण
क्वांटम यांत्रिकी में, अपभ्रंश पैटर्न (degeneracy patterns) आमतौर पर प्रणाली की समरूपता (symmetries) से उत्पन्न होते हैं। सुप्रसिद्ध लिपकिन-मेषकोव-ग्लिक (LMG) मॉडल में, टूटी हुई-समरूपता अवस्था (broken-symmetry phase) को पैरिटी समरूपता ( $\mathbb{Z}_2$ ) द्वारा संरक्षित द्वि-अपभ्रंश अवस्थाओं (parity doublets) द्वारा पहचाना जाता है। हालांकि, एक मौलिक प्रश्न यह बना हुआ है कि क्या पैरिटी समरूपता को स्पष्ट रूप से तोड़ने पर भी ऐसी घातांकीय अपभ्रंशता (exponential degeneracy/quasidegeneracy) बनी रह सकती है? जबकि एक-आयामी प्रणालियाँ सामान्यतः वास्तविक अपभ्रंशता प्रदर्शित नहीं करती हैं (विशिष्ट ढांचों को छोड़कर), वे निकटवर्ती स्तरों के बीच एक घातांकीय दृष्टिकोण प्रदर्शित करती हैं जिसे 'क्वासिडिजेनेरेसी' (quasidegeneracy) कहा जाता है। यह शोध पत्र इस बात की जांच करता है कि क्या LMG ढांचे के भीतर एक पैरिटी-तोड़ने वाला हैमिल्टनियन अभी भी एक अपभ्रंश उत्तेजित-अवस्था चरण (degenerate excited-state phase) का समर्थन कर सकता है, और यदि हाँ, तो कौन सी समरूपता इसे संरक्षित करती है।

कार्यप्रणाली
लेखक एक संशोधित LMG हैमिल्टनियन का अध्ययन करने के लिए माध्य-क्षेत्र विश्लेषण (mean-field analysis) और सटीक विकर्णन (exact diagonalization) के संयोजन का उपयोग करते हैं।

मॉडल निर्माण: अध्ययन मानक LMG हैमिल्टनियन से शुरू होता है और एक दूसरी उत्तेजित-अवस्था क्वांटम चरण संक्रमण (ESQPT) को प्रेरित करने के लिए एक एनहार्मोनिक पद ( $\hat{n}^2$ ) पेश करता है। महत्वपूर्ण रूप से, हैमिल्टनियन में एक पैरिटी-तोड़ने वाला इंटरेक्शन टर्म, $\hat{V}_{int}$ , जोड़ा गया है। इसके परिणामस्वरूप एक विरूपित (deformed) हैमिल्टनियन प्राप्त होता है जिसमें तीन नियंत्रण पैरामीटर ( $\xi, \alpha, \delta$ ) और चार इंटरेक्शन पद हैं।
माध्य-क्षेत्र विश्लेषण (Mean-Field Analysis): कोहेरेंट-स्टेट (intrinsic-state) औपचारिक पद्धति का उपयोग करते हुए, लेखक क्वांटम प्रणाली को फेज स्पेस (phase space) में उसके शास्त्रीय सीमा (classical limit) में मैप करते हैं। वे शास्त्रीय ऊर्जा सतहों (energy surfaces) का विश्लेषण करने के लिए उपयोग करते हैं ताकि स्थिर बिंदुओं (न्यूनतम, अधिकतम, सैडल पॉइंट्स) और सेपरेट्रिक्स (separatrices) की पहचान की जा सके जो विभिन्न गतिशील चरणों को परिभाषित करते हैं। यह उन्हें यह देखने की अनुमति देता है कि नियंत्रण पैरामीटर बदलने पर सिस्टम की टोपोलॉजी कैसे बदलती है, विशेष रूप से उन समरूपताओं की तलाश करना जो पैरिटी टूटने के बावजूद फेज स्पेस में बनी रहती हैं।
क्वांटम लक्षण वर्णन: क्वांटम चरण संक्रमणों और अपभ्रंशता की प्रकृति को चित्रित करने के लिए, लेखक विभिन्न कण संख्याओं ( $N$ $N$ ) वाले सिस्टम के लिए कई प्रेक्षणों (observables) की गणना करते हैं:
- ऊर्जा अंतराल (Energy Gaps): वे $N$ बढ़ने के साथ अंतराल के घातांकीय स्केलिंग ( $e^{-aN}$ ) को सत्यापित करने के लिए निकटवर्ती स्तरों के बीच ऊर्जा अंतर की गणना करते हैं, जो क्वासिडिजेनेरेसी की पुष्टि करता है।
- अपेक्षा मान (Expectation Values): वे संख्या ऑपरेटर ( $\hat{n}$ ) और कोणीय संवेग प्रोजेक्शन ( $\hat{J}_x, \hat{J}_y$ ) के अपेक्षा मानों का विश्लेषण करते हैं ताकि विभिन्न ऊर्जा व्यवस्थाओं में सिस्टम के व्यवहार को मैप किया जा सके।
- क्वांटम फिडेलिटी ससेप्टिबिलिटी (QFS): वे ESQPTs से जुड़े गैर-अनिरंतरताओं (non-analyticities) का पता लगाने के लिए QFS की गणना करते हैं। विकर्णीय उपसमष्टि (degenerate subspace) के भीतर विक्षोभ सिद्धांत (perturbation theory) को संभालने के लिए, वे हैमिल्टनियन के इंटरेक्शन भाग को विकर्णीय (diagonalize) करते हैं।

मुख्य परिणाम

पैरिटी के बिना अपभ्रंशता की उपस्थिति: अध्ययन यह प्रदर्शित करता है कि $\hat{V}_{int}$ के समावेशन से उच्च-ऊर्जा उत्तेजित अवस्थाओं में घातांकीय अपभ्रंशता समाप्त नहीं होती है। भले ही हैमिल्टनियन अब पैरिटी को संरक्षित नहीं करता है, फिर भी सिस्टम द्वि-अपभ्रंश अवस्थाओं (quasidegenerate doublets) को बनाए रखता है।
संरक्षित समरूपता की पहचान: माध्य-क्षेत्र विश्लेषण से पता चलता है कि जबकि पैरिटी समरूपता ( $\Pi: (q, p) \to (-q, -p)$ ) टूट जाती है, सिस्टम शास्त्रीय फेज स्पेस में एक परावर्तन समरूपता (reflection symmetry) $S: (q, p) \to (q, -p)$ को बनाए रखता है। यह क्वांटम सिस्टम में एक एंटी-यूनिटरी समरूपता के अनुरूप है, विशेष रूप से कोणीय संवेग के $y$ -घटक का परावर्तन ( $\hat{J}_y \to -\hat{J}_y$ )। इस एंटी-यूनिटरी $\mathbb{Z}_2$ समरूपता को अपभ्रंशता को संरक्षित करने वाले तंत्र के रूप में पहचाना गया है।
ESQPT संरचना: सिस्टम एक समृद्ध स्पेक्ट्रम प्रदर्शित करता है जिसमें एक द्वितीय-क्रम का ग्राउंड-स्टेट क्वांटम चरण संक्रमण (GSQPT) और दो अलग-अलग ESQPTs शामिल हैं।
- पहला ESQPT मूल बिंदु (origin) पर एक सैडल पॉइंट से जुड़ा है। जब $\alpha=0$ और $\delta=0$ होता है, तो यह सैडल पॉइंट दो सममित कुओं (wells) को अलग करता है; गैर-शून्य $\delta$ के लिए, कुओं की गहराई भिन्न होती है, और $\delta=0$ पर एक प्रथम-क्रम का GSQPT होता है जहाँ दोनों कुएं सह-अस्तित्व में होते हैं।
- दूसरा ESQPT सिस्टम की सीमा (सेपरेट्रिक्स) से जुड़ा है जहाँ दो सममित अधिकतम (maxima) दिखाई देते हैं।
- अपभ्रंशता दूसरे ESQPT की महत्वपूर्ण ऊर्जा के ऊपर बनी रहती है, जहाँ सिस्टम $S$ समरूपता द्वारा संरक्षित दो सममित मैक्सिमा के चारों ओर घूमता है।
स्केलिंग व्यवहार: संख्यात्मक परिणाम पुष्टि करते हैं कि अपभ्रंश डबलट्स के बीच ऊर्जा अंतराल सिस्टम के आकार ( $N$ ) के साथ घातांकीय रूप से घटता है, जो पैरिटी-संरक्षित मॉडलों में देखे गए व्यवहार के अनुरूप है। क्वांटम फिडेलिटी ससेप्टिबिलिटी दो ESQPTs के अनुरूप विशिष्ट शिखर (peaks) दिखाती है, जिसमें दूसरा ESQPT समरूपता-संरक्षित अपभ्रंशता के प्रति विशेष रूप से संवेदनशील है।

महत्व और दावे
लेखक दावा करते हैं कि यह कार्य मानक पैरिटी संरक्षण की आवश्यकता से परे अपभ्रंशता (degeneracy) की समझ को विस्तृत करता है।

सैद्धांतिक अंतर्दृष्टि: यह शोध पत्र स्थापित करता है कि एक पैरिटी-तोड़ने वाले हैमिल्टनियन में एक अपभ्रंश क्वांटम चरण मौजूद हो सकता है यदि एक वैकल्पिक एंटी-यूनिटरी समरूपता (विशेष रूप से फेज स्पेस में एक परावर्तन समरूपता) मौजूद हो। यह क्वासिडिजेनेरेसी को संरक्षित करने के लिए एक नया तंत्र प्रदान करता है।
क्वांटम प्रौद्योगिकियों के लिए प्रासंगिकता: लेखक सुझाव देते हैं कि ये निष्कर्ष क्वांटम कंप्यूटिंग प्रतिमानों, जैसे क्वांटम एनीलिंग के लिए प्रासंगिक हैं। ऐसे संदर्भों में, अपदर्शिता (degeneracies) को दूर करने के लिए—जो एडियाबेटिक सन्निकटन या विक्षोभ सिद्धांत को जटिल बनाती हैं—अतिरिक्त इंटरेक्शन जोड़े जाते हैं। यह कार्य इंगित करता है कि केवल पैरिटी को तोड़ना अपभ्रंशता को हटाने के लिए पर्याप्त नहीं हो सकता है यदि अन्य समरूपताएं (जैसे एंटी-यूनिटरी $S$ समरूपता) बरकरार हैं।
सामान्यीकरण: लेखक उल्लेख करते हैं कि एंटी-यूनिटरी समरूपताओं द्वारा संरक्षित समान अपभ्रंश चरण अन्य प्रणालियों में भी देखे गए हैं, जैसे कि सुपरकंडक्टिंग सर्किट और पैरिटी-एसिमेट्रिक केर पैरामीट्रिक ऑसिलेटर, जो यह दर्शाता है कि यह क्वांटम मेनी-बॉडी फिजिक्स में एक व्यापक घटना है।

संक्षेप में, यह शोध पत्र प्रदर्शित करता है कि लिपकिन-मेषकोव-ग्लिक मॉडल, जब पैरिटी को तोड़ने के लिए विकृत किया जाता है, तो भी एक अपभ्रंश उत्तेजित-अवस्था चरण का समर्थन करता है। यह अपभ्रंशता आकस्मिक नहीं है बल्कि शास्त्रीय सीमा से प्राप्त एक एंटी-यूनिटरी परावर्तन समरूपता द्वारा कठोर रूप से संरक्षित है, जो क्वांटम चरण संक्रमणों में समरूपता और स्पेक्ट्रल अपभ्रंशता के बीच संबंध पर एक परिष्कृत दृष्टिकोण प्रदान करती है।

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