Antagonistic Control: Foundations, Scalability and Nonlinearity

技术摘要：对抗性控制：基础、可扩展性与非线性

问题定义
本文研究了连续时间动力系统的“对抗性控制”问题。其核心目标是确定受限控制输入的最坏情况影响。具体而言，一个对抗性输入 $u(t)$ 试图在满足一组不相交输出 $M$ 的成本低于指定阈值 $\delta_j$ 的约束下，最大化一组性能输出 $P$ 的平均成本（以 $L_2$ 或 $L_1$ 范数衡量）。

从数学上讲，对于系统 $\dot{x} = f(x, u)$ 及其输出 $y_i = h_i(x, u)$，该问题表述为：
$$\sup_{u \in U} \frac{1}{|P|} \sum_{i \in P} \int_0^\infty \ell(y_i(t), Q_i) \, dt$$
受限于：
$$\int_0^\infty \ell(y_j(t), R_j) \, dt \leq \delta_j, \quad \forall j \in M$$
其中 $\ell(\cdot, \cdot)$ 是损失函数，$U$ 是输入信号空间（例如 $L_2, L_0^2, L_1$），且集合 $P$ 和 $M$ 对系统输出进行了划分。该框架推广了诸如 $H_\infty$ 范数和输出到输出增益等经典指标，在对抗性控制、安全性评估和鲁棒控制领域具有相关意义。

方法论
作者在不同的系统类别中采用了统一的分析流程：

1. 对偶化： 将原优化问题转化为凸对偶问题。
2. 耗散性论证： 利用（循环）耗散性理论分析对偶约束，从而将积分约束与矩阵不等式联系起来。
3. 凸优化： 将所得条件表述为半正定规划 (SDP)、线性规划 (LP) 或平方和 (SOS) 程序。

分析区分了单约束和多约束场景。对于单约束，推导出的程序通常是精确的。对于多约束，这些方法提供了最坏情况成本的上界，因为文献中目前不存在通用的精确计算方法。

主要贡献与结果

• 线性时不变 (LTI) 系统：

  • 单约束下的精确 SDP： 当存在单个约束（$|M|=1$）且输入空间为 $L_{2e}$ 时，本文推导出了一个用于计算最坏情况成本的精确 SDP（定理 5）。
  • 无界性条件： 作者建立了最坏情况成本趋于无界的充分条件。这些条件取决于系统的零点和相对阶。具体而言，如果受限输出 ($M$) 具有不稳定有限零点，且这些零点不是目标输出 ($P$) 的零点；或者如果目标输出的相对阶严格低于受限输出的相对阶，则成本会变得无界（定理 6, 10, 12）。
  • 构造性补救措施： 为了解决无界性问题，本文提出了一个构造性的闭环修改方案（定理 8）。通过集成特定相对阶过低的输出，可以调整系统的相对阶，从而满足可行性条件，使最坏情况成本有界。
  • 多约束： 对于 $|M| > 1$ 的情况，本文提供了针对 $L_{2e}$ 和 $L_0^2$ 输入空间的 SDP，用于计算最坏情况成本的上界（定理 10 和 12）。

• 正向 LTI 系统：

  • 可扩展性： 考虑到标准 SDP 的规模随状态维度呈二次方增长，本文引入了针对正向系统（状态、输入和输出保持非负）的可扩展公式。
  • 线性复杂度： 对于二次成本，通过限制存储函数矩阵 $P$ 为对角阵，推导出了一个参数数量随状态维度线性增长的可扩展 SDP（定理 15）。
  • 线性成本下的精确 LP： 对于线性成本和 $L_1$ 约束，推导出了一个精确的线性规划 (LP)（定理 17），为 SDP 提供了一个计算效率更高的替代方案。

• 非线性多项式系统：

  • SOS 扩展： 通过平方和 (SOS) 编程将分析扩展到了非线性多项式系统（定理 19）。这通过寻找多项式存储函数来提供最坏情况成本的上界，推广了用于 LTI 系统的耗散性论证。

意义与主张
本文声称对跨系统类别（LTI、正向 LTI、多项式）、成本函数（二次、线性）和输入空间的对抗性控制进行了统一处理。其主要意义在于：

1. 揭示结构性脆弱性： 分析表明，最坏情况成本对输入信号空间的选择高度敏感。本文证明了系统在 $L_0^2$（最终停止的信号）上可能表现出有限的最坏情况成本，但在 $L_{2e}$（在任何有限时界内具有有限能量的信号）上可能表现出无界成本。这暴露了标准分析可能会忽略的检测某些攻击输入的结构性局限。
2. 大规模系统的可扩展性： 通过利用正向系统的特性，本文提供的公式可以随状态维度线性扩展，解决了大规模系统（如电网）中标准 SDP 计算难以处理的问题，且无需对攻击能量设定任意限制。
3. 构造性安全性评估： 除了量化风险外，本文还提供了一种修改系统动力学以消除无界性的构造性方法（定理 8），为系统运营商缓解结构性脆弱性提供了路径。

研究结果通过数值示例（包括四罐过程和多项式系统）进行了说明，验证了理论上界以及所提修改方案的有效性。本文最后指出，未来的工作将侧重于合成旨在最小化这些最坏情况成本的控制器。