A variational framework for bond-based peridynamics with spatially varying horizons and its asynchronous time integration
本文提出了一个具有空间变化视界（horizons）的基于键的近动力学（peridynamics）变分框架，该框架自然地产生了双视界（dual-horizon）公式以消除非物理伪影，并结合了一种异步变分积分器，从而能够实现针对动态断裂问题的高效多时间步模拟。
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想象一个固体物体，比如一根钢梁或一片玻璃，不要将其视为连续、 unbroken 的物质片，而是一个由无数微小、独立的粒子组成的庞大集合。在工程师们几个世纪以来建模材料的经典方式中，他们将这些物体视为平滑且连续的整体，依靠微积分来描述它们的弯曲或断裂。这种方法在出现裂纹时表现良好，但一旦裂纹形成，连续性就被打破了，旧有的数学工具就会显得捉襟见肘，通常需要复杂的、人工性的修正来维持模拟的运行。一种被称为“近场动力学”（peridynamics）的新方法完全跳过了对平滑连续体的假设。相反，它将材料视为一群相互作用的粒子群。每个粒子都会向其一定距离内的邻居伸出“触手”，并根据它们之间的距离进行拉力或推力的作用。如果一个粒子失去与足够多邻居的连接，它就被视为断裂，从而自然地形成裂纹，而无需特殊的指令。这种方法在预测材料在应力下如何破碎方面特别强大。
然而，当科学家试图提高这些模拟效率时，一个新的挑战出现了。为了节省计算能力，研究人员通常希望仅在预期裂纹生长的地方使用精细、详细的粒子网格，而在其他地方使用较粗糙、简单的网格。在标准版本的这种基于粒子的方法中，混合这两种不同层级的细节会产生一个问题：精细区域的粒子与粗糙区域的粒子无法“平等”地感知彼此。粗糙区域的一个粒子可能会向精细区域的一个邻居伸出作用力，但那个邻居回馈的力量却并不相等。这种不平衡产生了一个虚假的、无形的屏障，像镜子一样反射能量波，从而扭曲模拟结果，导致裂纹在错误的地方生长。这就像是材料内部突然出现了一道本不存在的幽灵墙。
一组研究人员现在通过开发一种新的数学框架解决了这个问题，该框架恢复了混合网格之间的平衡。他们从重新审视支配这些粒子如何相互作用的基本运动定律入手。通过应用严格的能量守恒原理，他们推导出一套能够自然纠正这种不平衡的方程组。他们的解决方案涉及一个被称为“双视界”（dual horizon）的概念。不再仅仅是粒子观察谁可以触及它，还要考虑谁可以触及它。这确保了每一次相互作用都是双向的，具有大小相等、方向相反的作用力，从而消除了那些幽默的反射现象，并允许模拟在不同层级的细节之间平稳运行。
在建立了这一修正后的基础之上，研究人员还引入了一种新的模拟时间推进方式。在标准的模拟中，计算机必须以同样微小的、由模型中最精细部分决定的时间间隔来更新每一个粒子的位置。这迫使整个模拟必须以最慢、最精细部分的步长来运行，这极其浪费资源。而新方法允许材料的不同部分以各自的速度进行更新。裂纹尖端附近的详细区域可以更新得非常快，而未受干扰的粗糙区域则可以更新得慢一些。这不仅仅是一个速度上的技巧；这是一种在数学上保持一致的方法，它确保了即使在时间步长变化时，系统的能量和动量依然得到守恒。
为了验证他们的想法，团队运行了几次复杂的模拟。首先，他们向一根由两个不同截面（一个粗糙网格，一个精细网格）组成的棒材中发送了一个应力波。在旧的、不平衡的方法中，波在两个截面的边界处撞击并发生反弹，产生了现实中并不存在的虚假反射。利用他们新的双视界方法，波可以平滑地穿过边界，表现得就像在均匀材料中一样。接着，他们模拟了一块带有预存裂纹的钠钙玻璃板，通过拉伸使其破碎。旧的方法会导致裂纹偏离路径，因为它受到了不同网格边界处人工反射的影响。而新方法则能让裂纹遵循一条笔直且符合物理规律的路径，其结果与成本高得多的全细节模拟高度吻之一致。
最后，他们在被称为 Kalthoff-Winkler 测试的高速冲击实验中测试了该方法，在这种实验中，钢板受到高速撞击，导致裂纹以特定角度分支生长。新方法成功地重现了复杂的枝分模式和精确的裂纹角度，与实验观察结果相符。至关重要的是，由于新方法允许粗糙部分更新的频率较低，它将所需的计算量减少了约百分之三十。这意味着科学家现在可以在保持高精度模拟关键区域的同时，处理大规模、复杂的断裂事件，而无需为整个物体支付全部的计算成本。这项工作为在现实工程中使用这些基于粒子的模型提供了坚实且一致的基础，确保了关于物体如何破碎的数字预测与材料本身的可靠性一样值得信赖。
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