The equality cases $P_t(\mathbb{N})=\tfrac12$ for the deconvolved sum-of-digits measures

技术摘要：去卷积数位和测度中中位数性质的等式情况

问题陈述
本文解决了关于与二进制数位和函数 $s(n)$ 相关的测度 $P_t$ 的“饱和问题”。令 $s(n)$ 表示整数 $n$ 的二进制展开中 1 的个数。差值 $s(n+t) - s(n)$ 的层集（level sets）渐近密度定义了 $\mathbb{Z}$ 上的概率测度 $\mu_t$。这些测度满足递推关系 $\mu_t = \mu_1 * P_t$，其中 $P_t$ 是一个有限支撑的测度族。

核心问题是刻画使得中位数性质成立且取等号（即 $P_t(\mathbb{N}) = 1/2$）的奇整数 $t$ 的集合。虽然 Cusick 猜想认为对于所有 $t \in \mathbb{N}$，都有 $\mu_t(\mathbb{N}) > 1/2$，且 Cheng (2026) 最近的工作证明了对于以 0 开头的词，$P_t(\mathbb{N}) \geq 1/2$ 具有严格下界，但关于何时发生等式 $P_t(\mathbb{N}) = 1/2$ 的精确条件仍是一个开放问题。以往的分析多依赖于数值计算或有限情况检查，缺乏通用的组合特征描述。

方法论
本文采用了一种组合框架，将测度 $P_t$ 与在递归增长的二进制树 $T_t$ 上停止的随机游走联系起来。

1. 树表示法： 测度族 $P_t$ 被识别为在树 $T_w$（其中 $w$ 是与 $t$ 相关的二进制词）的内部节点处首次退出时间停止的简单随机游走的概率分布。
2. 子词序： 利用 Cheng (2026) 提供的这些树的组合描述，其内部节点被识别为反转词 $\overleftarrow{w}$ 的散射子词（scattered subwords）。停止时间 $\tau_w$ 对应于随机游走路径不再是 $\overleftarrow{w}$ 的子词时的第一个时刻。
3. 质量分析： $P_w(\mathbb{N})$ 被表示为一个涉及特定子词计数的求和式。具体而言，偏离 $1/2$ 的程度由量 $\Delta^-_m(w) = 2|B^{-1}_{2m-1}(w)| - |B^0_{2m}(w)|$ 控制，其中 $B^x_n(w)$ 表示长度为 $n$ 且平衡度为 $x$ 的 $w$ 的子词集合。
4. 插入逻辑： 本文通过研究“缺陷”词来分析 $\Delta^-_m(w) = 0$ 的条件。我们确立了这样一个结论：当且仅当对于每一个满足 $\ell_0(v) = \ell_1(v) + 1$ 的子词 $v \subseteq \overleftarrow{w}$，在 $v$ 的任何位置插入一个 '1' 后得到的词仍是 $\overleftarrow{w}$ 的子词时，$P_w(\mathbb{N}) = 1/2$。

主要贡献与结果
主要结果是基于与奇数 $t = (1w1)_2$ 相关的二进制词 $w$ 的结构，对等式情况 $P_t(\mathbb{N}) = 1/2$ 进行了完整的刻画。

• 饱和词的定义： 一个含有 $k$ 个零的词 $w$ 被定义为饱和的，如果在其块分解 $w = 1^{a_0}0 1^{a_1}0 \dots 0 1^{a_k}$ 中，每个 1 的块都满足 $a_i \geq k$。等价地，每个零都是孤立的，且每个极大 1 块（包括首尾块）的长度至少等于该词中零的总数。
• 主定理 (Theorem 1.2)： 对于奇整数 $t = (1w1)_2$，等式 $P_t(\mathbb{N}) = 1/2$ 成立当且仅当 $w$ 是饱和的。
• 下界扩展 (Corollary 6.3)： 对于非饱和词 $w$，本文证明了一个严格下界：
  $$P_w(\mathbb{N}) \geq \frac{1}{2} + 2^{-2 \min(\ell_0(w), \ell_1(w)+1) - 1}$$
  这为所有非饱和词提供了此前 Cheng 为以 0 开头的词所建立的边界的扩展。
• 计数结构： 本文给出了给定长度 $\ell$ 的饱和词的数量公式 $E(\ell)$，并指出满足该等式的整数 $t$ 的渐近密度为零。

意义
这项工作解决了 Cheng (2026) 留下的关于饱和问题的开放问题，并为中位数性质的等式情况提供了精确的组合条件。通过将 $P_t(\mathbb{N}) = 1/2$ 与底层二进制词的“饱和”属性联系起来，本文阐明了树不对称性消失的结构性要求。这一结果直接关联到 Cusick 猜想，因为它划定了参数中满足 $P_t$ 去卷积测度中严格不等式 $\mu_t(\mathbb{N}) > 1/2$ 可能不再严格成立的特定（且稀疏的）集合，从而完善了对数位和差值分布的理解。本文并未提出新的应用或未来的实验方向，而是专注于对所述开放问题的完整理论解答。