On exact discretization of the $L_2$-norm in the space spanned by the first $N$ Rademacher functions

技术摘要：关于由前 $N$ 个 Rademacher 函数生成的空间中 $L^2$ 范数的精确离散化

问题陈述
本文研究了在由前 $N$ 个 Rademacher 函数 $\langle r_0, \dots, r_{N-1} \rangle$ 生成的 $N$ 维子空间 $R_N \subset L^2([0,1])$ 中进行 $L^2$ 范数精确离散化的问题。其核心目标是确定实现精确 Marcinkiewicz 型离散化恒等式所需的最小节点数 $m(R_N)$ 以及相应的权重 $\{\lambda_j\}$：
$$\int_0^1 f^2(x) dx = \sum_{j=1}^m \lambda_j f^2(\xi_j)$$
对于每一个函数 $f \in R_N$。研究区分了允许任意实数权重的通用情况（$m(R_N)$）以及要求严格正权重的限制情况（$m_+(R_N)$）。

方法论
该方法通过将离散化条件转化为矩阵代数问题来进行。通过将区间 $[0,1)$ 划分为 $2^N$ 个二进区间，问题被重新表述为一个矩阵 $A$ 的形式，其中矩阵条目对应于 Rademacher 函数在这些区间上的值。使用权重 $\Lambda = \text{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_m)$ 和对应于 $A$ 的列的节点进行精确离散化的条件等价于矩阵方程：
$$A_j \Lambda_j A_j^T = E_N$$
其中 $A_j$ 是 $A$ 中对应于所选节点的 $N \times m$ 子矩阵，$\Lambda_j$ 是非零权重的对角矩阵，$E_N$ 是 $N \times N$ 的单位矩阵。

分析过程如下：

1. 利用秩论证建立 $m$ 的下界。
2. 研究当 $m=N$ 时 $A_j$ 的结构性质，将解的存在性与 Hadamard 矩阵的存在性联系起来。
3. 通过为 $m=N+1$ 构建显式解来建立上界。
4. 当 $N$ 满足特定的模运算条件（$N \equiv 1, 2 \pmod 4$）时，分析对 $m=N+1$ 时权重约束的性质，以确定是否可能存在正权重。

主要贡献与结果

1. 下界与与 Hadamard 矩阵的联系：
   本文证明了最小节点数满足 $m(R_N) \ge N$。此外，它确立了当且仅当存在阶数为 $N$ 的 Hadamard 矩阵时，$m(R_N) = N$。在这种情况下，最优权重是均匀的（$\lambda_j = 1/N$）且为正。

2. 上界与显式构造：
   作者提供了一个显式构造，证明了对于所有 $N$，都有 $m(R_N) \le N + 1$。该构造利用了 $N+1$ 个特定的二进区间，并分配权重使得 $N$ 个权重等于 $1/4$，而第 $N+1$ 个权重等于 $(4-N)/4$。这种构造产生了一个有效的离散化，但如果 $N > 4$，则可能涉及负权重。

3. 最小节点数的特征化：
   本文基于 Hadamard 猜想导出了一个关于最小节点数的精确公式：
   $$m(R_N) = \begin{cases} N & \text{若存在阶数为 } N \text{ 的 Hadamard 矩阵} \\ N + 1 & \text{否则} \end{cases}$$
   这一结果强调了 Rademacher 空间的离散化效率与 Hadamard 猜想之间的直接依赖关系。

4. 特定 $N$ 下正权重的不可能性：
   本文的一个重要贡献是证明了在某些维度下，使用最小节点数时不可能存在严格正权重。具体而言，如果 $N \equiv 1 \pmod 4$（$N \ge 5$）或 $N \equiv 2 \pmod 4$（$N \ge 6$），则 $m_+(R_N) > m(R_N) = N + 1$。

   • 对于 $N \equiv 1 \pmod 4$，证明利用正交性论证表明，假设存在正权重会导致与阶数为 $N+1$ 的 Hadamard 矩阵不存在这一事实相矛盾。
   • 对于 $N \equiv 2 \pmod 4$，证明通过对 Rademacher 函数之间符号一致性的组合计数，导出了关于 $N$ 被 4 整除性的矛盾。

意义与主张
本文声称解决了 Rademacher 子空间的精确离散化问题，即确定了所需的最小节点数并刻画了权重的性质（正 vs 负）。这项工作表明，该问题本质上与 Hadamard 猜想相关联。

作者指出，允许通用权重（$m(R_N)$）的最小节点数与要求正权重（$m_+(R_N)$）的最小节点数之间的差距与 Hadamard 猜想密切相关。如果该猜想成立（即对于所有能被 4 整除的阶数都存在 Hadamard 矩阵），本文断言这两个量之间的差异是统一有界的：
$$m_+(R_N) - m(R_N) \le 2$$
本研究阐明了高维 Rademacher 函数生成的空间中正权重离散化的局限性，表明为了达到理论上的最小节点数，有时必须使用负权重。