Lower order term for the fractional Laplacian with a Hardy potential

技术摘要：带有 Hardy 项的分数阶拉普拉斯算子的低阶项研究

问题陈述
本文研究了涉及分数阶拉普拉斯算子、Hardy 项以及带有权重函数的低阶项的半线性椭圆方程的存在性与正则性问题。该问题在有界区域 $\Omega \subset \mathbb{R}^N$（$N > 2s$）中定义，其中 $0 \in \Omega$ 且 $s \in (0, 1)$：

$$\begin{cases} (-\Delta)^s u + g(x)|u|^{p-1}u = \lambda \frac{u}{|x|^{2s}} + f(x), & \text{在 } \Omega \text{ 内}, \\ u = 0, & \text{在 } \mathbb{R}^N \setminus \Omega \text{ 内}, \end{cases}$$

其中 $p > 1$，$\lambda \in \mathbb{R}$，$g \in L^1_{\text{loc}}(\Omega)$ 是一个正函数，源项 $f$ 属于加权勒贝格空间 $L^{(p+1)/p}_g(\Omega)$。本研究旨在通过引入低阶项 $g(x)|u|^{p-1}u$，并在对 $g$ 的积分性做出最小假设的情况下，推广以往关于分数阶 Hardy 方程（即 $g \equiv 0$ 的情况）的研究结果。

方法论与函数框架
作者在分数阶 Sobolev 空间的框架内运用变分法。该问题的自然能量空间定义为 $E = H^s_0(\Omega) \cap L^{p+1}_g(\Omega)$，其范数为 $\|u\|_E = \|u\|_{H^s_0(\Omega)} + |u|_{L^{p+1}_g(\Omega)}$。

解被表征为能量泛函 $\phi_\lambda: E \to \mathbb{R}$ 的临界点：
$$\phi_\lambda(u) = \frac{1}{2}\|u\|^2_{H^s_0(\Omega)} + \frac{1}{p+1}\int_\Omega |u|^{p+1}g \, dx - \frac{\lambda}{2}\int_\Omega \frac{u^2}{|x|^{2s}} \, dx - \int_\Omega f u g \, dx.$$

所使用的关键分析工具包括：

1. Hardy 不等式： 分数阶 Hardy 不等式对于控制奇异势能项 $\lambda u/|x|^{2s}$ 至关重要。
2. Ekeland 变分原理： 用于在缺乏下半连续性的情况下，建立 $\phi_\lambda$ 的极小化序列。
3. 紧性与收敛性： 存在性的证明依赖于证明极小化序列在 $E$ 中是有界的，并利用 Vitali 定理和控制收敛定理来确保非线性项的适当收敛。
4. 测试函数技术： 对于正则性结果，作者利用形式为 $|T_k(u)|^\rho T_k(u)$ 的截断测试函数（其中 $T_k$ 是标准截断算子）来导出解的可求和性（summability）的先验估计。

主要贡献与结果

1. 对所有 $\lambda \in \mathbb{R}$ 的解的存在性：
   本文证明了对于每一个实数 $\lambda$，只要 $g$ 满足特定的温和积分条件：
   $$\frac{1}{|x|^{2s}} g^{\frac{2}{p+1}} \in L^{\frac{p+1}{p-1}}(\Omega). \quad (\text{条件 5})$$
   该结果通过移除 $\lambda$ 必须为正或受限于 Hardy 常数 $\Lambda_{N,s}$ 的限制，扩展了以往的工作（例如 Abdellaoui 等人 [1] 关于 $g \equiv 0$ 的情况，以及 Mi 等人 [10] 关于 $g \equiv 1$ 的情况）。无论 $\lambda$ 的符号如何，存在性均得到保证。

2. 正则性与改进的可求和性：
   在假设 $f \in L^q_g(\Omega)$ 且 $q \ge (p+1)/p$ 以及满足附加 $g$ 条件的情况下：
   $$\int_\Omega |x|^{\frac{2spq}{1-p}} g^{\frac{1-pq}{p-1}} \, dx < +\infty, \quad (\text{条件 6}),$$
   作者证明了解 $u$ 具有更高的正则性，具体而言 $u \in H^s_0(\Omega) \cap L^{pq}_g(\Omega)$。这表明低阶项增强了解的可求和性，使其优于不含该项的情况。

3. 解的极小性：
   本文确立了如果满足更强的 $g$ 的积分性条件（条件 14），则所得解不仅是一个临界点，而且是泛函 $\phi_\lambda$ 的全局极小值。

意义与主张
作者声称，他们的结果在以下两个主要方面代表了对现有文献的显著改进：

• 放宽对 $\lambda$ 的约束： 与以往的研究（如 Mi 等人 [10]）中存在性通常受限于 $0 < \lambda \le \Lambda_{N,s}$ 不同，这项工作保证了对于每一个 $\lambda \in \mathbb{R}$ 的存在性。
• 增强的正则性： 对于 $g \equiv 1$ 的情况，本文在更广泛的参数范围（$p > 2^*_s - 1$）内建立了 $H^s_0(\Omega) \cap L^{pq}(\Omega)$ 中的解，相比于 [10, 定理 1.5]。作者指出，在 [10] 中，容许的 $\lambda$ 区间随着 $p \to +\infty$ 而趋于零，而本文的结果对所有 $\lambda$ 均成立。
• 普适性： 对 $g$ 的低正则性要求（仅需 $L^1_{\text{loc}}$ 且满足积分条件）使得这些结果可以推广到更广泛的一类问题中，包括具有多个 Hardy 型势能的问题（如推论 4.4 所示）。

论文得出结论，在导出的积分性条件下，引入低阶项有效地稳定了问题，使得存在性和正则性结果对于参数 $\lambda$ 以及源项 $f$ 的可求和性具有鲁棒性。