光和电不仅仅是穿过物质的波，它们还会对物质产生推力。这种被称为“应力”的推力是物理学中的一个基本概念，描述了电磁场如何将动量传递给它们所经过的材料。在处理玻璃或水等块体材料的宏观世界中，科学家们长期以来一直使用一套被称为“宏观电动力学”的规则来预测这些力。这些规则在许多方面都表现得非常出色，例如计算光进入透镜时弯曲的角度，或电容器如何储存能量。然而，当涉及到光在固体内部产生的特定压力时，标准规则却让物理学家陷入了数十年的争论之中。困难之处在于，标准公式依赖于材料的一个属性——即材料在被挤压或拉伸时其储存电能的能力如何变化——而这个属性通常是未知或无法直接测量的。由于缺少这一关键环节，标准理论无法明确预测固体的内部应力，从而引发了关于宏观规则是否足以独立运作，或者它们是否遗漏了物质原子结构中某些基本要素的疑问。
理查德·登格勒（Richard Dengler）在慕尼黑开展工作，他通过不再将材料视为平滑、连续的整体，而是将其视为由精确排列的单个原子组成的集合来解决这一问题。他将晶体建模为微小的经典原子晶格，每个原子都像是一个可以被电场极化的微小偶极子。通过计算这些离散原子产生的电场，并累加它们彼此之间施加的力，他从底层逻辑出发推导出了应力张量——即内部压力的数学描述。这种微观方法使他能够计算出两个特定方向上的精确压力：一个平行于电场方向，另一个垂直于电场方向。结果令人震惊。计算表明，应力张量包含一个特定的、非零的常数，该常数完全取决于原子的微观排列。这意味着晶体内部的压力不能仅根据材料的宏观属性来推导；那些忽略了原子晶格的标准方程是不完整的。这项研究证实，要真正理解其中起作用的力量，必须考虑物质在原子尺度上的离散、颗粒状特性。
为了使研究结果具有更广泛的适用性，研究人员随后将这一逻辑应用于无定形固体，即像玻璃这样缺乏规则晶体结构的材料。他将无定形固体建模为由随机取向的立方晶体微小颗粒组成的马赛克。通过对单个晶体计算出的应力在所有可能方向上进行平均，他确定了这种无序材料中的总应力。在这个过程中，出现在单晶计算中的那个神秘常数消失了，留下了一个仅取决于电场强度和材料介电特性的简洁结果。得到的关于垂直于电场方向压力的公式，与物理学家鲁道夫·皮尔斯（Rudolf Peierls）几十年前使用完全不同方法研究液体时得出的著名结果相吻合。这种一致性表明，虽然晶体内部的具体细节对于其内部的特定力量至关重要，但无序固体的平均行为与已有的液体理论相一致。
该研究还探讨了当电场指向任意方向而非特定晶轴方向时会发生什么。研究人员发现，在这种情况下，应力仅仅是根据电场方向对三个主轴应力进行加权后的线性叠加。这种线性叠加证实，可以通过将复杂的晶体行为分解为更简单的对称组分来理解它。此外，论文还研究了一个简化的二维极化棒模型，以说明这些力在信号（例如穿过介质传播的光脉冲）中是如何表现的。在该模型中，信号边缘的力量产生了一种向内的拉力，这有助于解释光在液体中是如何携带动量的。分析显示，此类信号中的动量与能量之比与现实世界实验中所观察到的情况相符，这进一步强化了这样一个观点：研究中所计算出的微观力量在物理上是真实存在且可测量的。
最终，这项工作通过证明固体中的电磁应力不仅是其整体属性的函数，还受到其原子特定微观排列的影响，从而澄清了物理学中一个长期的歧义。虽然标准宏观方程在许多应用中行之有效，但由于它们无法解释原子晶格的离散性质，因此无法捕捉到内部应力的全貌。研究表明，全面的理解需要从原子层面观察材料，因为单个偶极子之间的力量创造了一种有别于宏观理论预测的压力。然而，对于无定形材料，结构的随机性抵消了这些微观上的奇特性，使得宏观描述能够再次成立。这种区别为旧规则何时适用以及微观细节何时变得至关重要提供了一个清晰的界限，为理解光与物质在最基本层面的相互作用提供了更精确的基础。
技术摘要：立方晶体与非晶态固体中的电磁应力张量
问题陈述
宏观电动力学通过介电常数等本构系数，成功描述了凝聚态物质中的准静态现象和光传播。虽然该理论正确地重现了双线性能量密度，但在电磁应力张量（动量通量）方面面临长期的困难。标准的唯象应力张量公式涉及介电张量对密度的导数 (∂ϵr/∂ρ)，而这一量通常是未知的，且难以与微观平均值联系起来。此外，目前尚不清楚仅靠宏观电动力学是否足以推导出应力张量，特别是考虑到可能源于微观细节的常数项。本文通过对点状原子在晶格上的微观模型进行精确计算，解决了这些局限性。
研究方法
作者采用了一个微观模型，该模型由排列在正交晶系（随后为立方晶系）晶格上的经典点状可极化原子组成。原子被建模为相互渗透的球对称电荷分布，其径向尺度 R 远小于晶格常数。
- 微观场推导： 电场通过电荷密度的傅里叶级数展开进行推导。该方法重现了离散偶极近似，并在特定收敛条件下与 Ewald-Kornfeld 求和一致。该推导建立了微观极化率与宏观介电张量分量 (ϵii) 之间的关系，恢复了克劳修斯-莫索提（Clausius-Mossotti）关系。
- 直接应力张量计算： 直接从晶格间隙真空平面中的微观电场 (E#) 和磁场 (B#) 计算电磁真空应力张量 σij#。计算过程涉及对胞元面积进行应力张量平均。
- 唯象对比： 将精确的微观结果与基于能量平衡论证得到的广义唯象公式进行比较。这需要计算介电常数在晶格单轴形变下的变化，以确定必要的导数 (∂ϵii/∂ℓi)。
- 非晶态建模： 为了模拟非晶态固体，作者将系统视为由立方晶体随机取向的晶粒组成的马赛克结构。非晶态固体的应力张量通过对电场和晶轴的所有可能取向进行平均来得出。
主要贡献与结果
- 立方晶体的精确微观应力张量： 本文推导了立方晶体应力张量分量的显式表达式。
- 垂直于电场的方向 (σ33): σ33cubic=2ϵ0E12[1+(ϵr−1)2M]。
- 平行于电场的方向 (σ11): σ11cubic=−2ϵ0E12[ϵr2+(ϵr−1)22M]。
- 一般取向： 对于任意取向的电场，应力张量包含一个取决于非平凡常数 M≈0.1716 的项，该常数源于晶格上傅里叶分量的求和。
- 唯象公式的验证： 本文证明，只有当使用微观模型正确计算介电常数对晶格形变的导数时，精确的微观结果才会与唯象公式（方程 20 和 21）一致。这证实了当包含正确的微观依赖关系时，微观方法与宏观方法之间的一致性。
- 常数 M： 一个核心发现是应力张量表达式中存在常数 M。由于 M 取决于特定的微观晶格求和而非仅仅取决于宏观参数，本文得出结论：对于各向异性的（立方）晶体，电磁应力张量无法仅通过宏观电动力学推导出来。
- 非晶态固体： 通过对随机取向进行平均，常数 M 被抵消。非晶态固体的应力张量分量为：
- 纵向（平行于 E）： σ∥amorph=−2ϵ0E2[2ϵr−1+53(ϵr−1)2]。
- 横向（垂直于 E）： σ⊥amorph=2ϵ0E2[1−51(ϵr−1)2]。
- 横向分量与 Peierls 使用不同方法得出的液体结果一致。
意义与主张
本文声称通过提供精确的微观评估，解决了凝聚态物质中电磁应力张量的歧义问题。其主要意义在于证明了：
- 应力张量包含一个属于晶格结构的非平凡常数 (M)，这使得对于各向异性（立方）系统，无法仅从宏观电动力学进行推导。
- 涉及 ∂ϵ/∂ρ 的唯象公式是有效的，但需要使用微观模型中介电常数对形变的特定微观依赖关系才能得出正确的应力张量。
- 在非晶态固体（建模为随机马赛克）中，微观常数 M 会被平均掉，导致应力张量分量仅取决于宏观参数。在这一极限下，横向分量与 Peierls 的液体结果相匹配，为这项早期的工作提供了微观基础。
作者指出，虽然动态现象（如光传播）超出了本静态分析的范围，但推导出的应力张量分量对于理解液体中信号的动量密度具有重要意义，特别是关于实验中观察到的动量与能量之比。
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