Large fluctuations of extended Rademacher random multiplicative functions

技术摘要：扩展 Rademacher 乘性随机函数的巨大波动

问题陈述
本文研究了扩展 Rademacher 乘性随机函数（RMF） $f(n)$ 的部分和的大规模波动。与仅在无平方因子整数上定义的经典 Rademacher RMF $g(n)$ 不同，扩展模型 $f(n)$ 是完全乘性的，即对于所有素数 $p$ 和整数 $k \ge 1$，满足 $f(p^k) = f(p)^k$。这种扩展引入了一个显著的解析障碍：$f$ 的狄利克雷级数包含一个 $\zeta(2s)$ 因子，这在 $s=1/2$ 处产生了一个在平方因子情形下不存在的极点。

本文解决的核心问题是 Erdős 问题 #1144，该问题询问部分和 $S_f(x) = \sum_{n \le x} f(n)$ 是否满足 $\limsup_{x \to \infty} S_f(x)/\sqrt{x} = +\infty$ 几乎处处成立。此前，Harper 的工作已经确立了经典平方因子 RMF $g(n)$ 表现出 $\sqrt{x}(\log \log x)^{1/4}$ 量级的波动，但目前尚不清楚由于非正交结构和 $s=1/2$ 处的极点，扩展 RMF $f(n)$ 是否能达到类似的巨大波动，或者该极点是否会抑制这些波动。

方法论
作者改编并扩展了 Harper 为平方因子情形开发的概率与解析框架，并引入了特定的修改以处理扩展模型中固有的“平方贡献”。证明策略通过以下阶段进行：

1. 分解与条件化：
   将部分和分解为一个 $X$-光滑部分（素因子 $\le X$ 的整数）和一个大素数部分。作者对 $p \le X$ 时 $f(p)$ 的取值进行条件化处理。

   • $X$-光滑贡献是非中心化的，且缺乏平方因子情形中的完美正交性。作者使用卷积恒等式 $f = (\mu^2 f) * 1_{\square}$ 将 $f$ 与平方因子函数 $g$ 联系起来。他们利用 Parseval 等式和乘性混沌估计，证明尽管缺乏逐点正交性，该贡献在对数均方意义下是微小的。
   • 大素数贡献被视为独立 Rademacher 变量的中心化线性形式。

2. 处理 Zeta 极点：
   一项关键的技术创新是引入了一个乘子来抵消 $s=1/2$ 处的奇异性。通过考虑在 $x$ 和 $4x$ 处归一化和之差（即“大素数增量”），作者利用了因子 $4^{s-1/2} - 1$。该因子在 $s=1/2$ 处消失，有效地抵消了狄利克雷级数中 $\zeta(2s)$ 因子产生的极点，使得相关的欧拉乘积在临界线附近正则化。

3. 方差与协方差估计：

   • 方差： 利用该乘子和 Parseval 等式，作者为大素数增量的条件方差建立了下界，表明其量级为 $e^{-2.2W}(\log \log X)^{-1/2}$。
   • 协方差稀疏性： 为了应用高斯比较法，作者必须证明对于大多数点对，不同增量之间的条件协方差是微小的。他们证明了一个加权高阶矩估计，以此改编 Harper 的屏障方法（barrier method）。用于抵消步骤的确定性乘子仅引入了无害的对数损失，使他们能够证明大协方差是稀疏的。

4. 高斯近似：
   利用协方差的稀疏性和已建立的方差界限，作者应用了多元高斯比较定理。他们证明了所选增量的最大值表现得类似于具有弱相关性的高斯向量的最大值，从而允许他们推导出最大波动的下界。

5. Borel-Cantelli 参数：
   通过一个条件 Borel-Cantelli 引理，将结果从固定范围 $[X^{8/7}, X^{4/3}]$ 提升到整个半直线。通过构建一系列尺度，并证明在每个区间内发生大波动的概率被限制在远离零的范围内，他们证明了此类波动几乎处处无限次发生。

主要贡献与结果

• 解决 Erdős 问题 #1144： 本文以强定量形式给出了 Erdős 问题的肯定回答。它证明了对于任何确定性函数 $V(x) \to \infty$，几乎处处有：
  $$S_f(x) = \Omega_{\pm} \left( \frac{\sqrt{x}(\log \log x)^{1/4}}{V(x)} \right)$$
  这确立了扩展 RMF 表现出与经典平方因子 RMF 相同的量级的巨大波动，尽管存在 $s=1/2$ 处的极点这一解析障碍。

• 符号改变： 作为直接推论，作者为部分和的符号改变次数建立了一个新的几乎处处的下界。他们证明了对于足够大的 $x$，符号改变次数 $N_f(x)$ 满足：
  $$N_f(x) \gg \log \log x$$
  这改进了以往针对扩展 RMF 的定性结果，并提供了第一个定量下界。

• 波动指数的鲁棒性： 该结果表明，波动尺度 $(\log \log x)^{1/4}$ 中的指数 $1/4$ 在不同的随机乘性函数模型中（包括引入了 zeta 奇异性的完全乘性结构模型）是具有鲁棒性的。

意义
本文声称，由于正交性的丧失和 $s=1/2$ 处极点的存在，扩展 Rademacher RMF 相比于经典的平方因子或 Steinhaus 模型可能更具挑战性。其主要意义在于克服了这些解析困难，以证明“典型”的大规模波动行为得以保留。作者指出，虽然这些和的“典型”大小（低阶矩）与平方因子情形相比表现不同，但完全乘性性质对“大规模”波动的影响比此前怀疑的要有限。这项工作解决了关于这些和行为的长期悬而未决的问题，并对原始 Erdős 猜想进行了定量强化。