Arithmetic Siegel-Weil for the spherical Hecke algebra

问题陈述

本文探讨了针对球面 Hecke 代数的算术 Siegel-Weil 公式的一个猜想性推广的公式化与验证。经典的算术 Siegel-Weil 公式由 Kudla-Rapoport 猜想并由 Li-Zhang 证明，它建立了 Kudla-Rapoport 循环在酉 Rapoport-Zink 空间上的局部算术交点数与局部 Whittaker 函数的中心导数之间的关系。

本文所解决的具体问题是，如何将球面 Hecke 代数的动作纳入这一框架中。受 Li-Rapoport-Zhang 关于球面 Hecke 代数的猜想性算术基本引理（arithmetic fundamental lemma）的启发，作者试图将受 Hecke 对应作用的循环的交点重数，与关联于作用在 Schwartz 函数上的 Hecke 算子的 Whittaker 函数的中心导数联系起来。作者指出，一个显著的技术障碍在于，标准的局部 Hermitian 空间的表示密度理论不足以计算这种广义情形下的相关 Whittaker 函数。

方法论

本文结合了算术几何、表示论以及显式的局部计算。

1. 广义表示密度： 本文的大部分工作致力于开发一种广义的表示密度理论。作者为非奇异 Hermitian 矩阵 $T$ 和任意紧开子集 $C \subset V^d$ 定义了一个表示密度 $\text{Den}_T(C)$。这推广了定义在格（lattice）上的经典密度 $\alpha(M, T)$。该定义利用了代数几何工具，特别是矩映射（moment morphism）$\tau: V^d \to \text{Herm}_d(F')$ 以及由光滑方案上的微分形式诱导的测度。
2. 密度多项式： 作者构造了密度多项式 $\text{Den}_T(s, C) \in \mathbb{Q}[q^{-s}]$，使得 $\text{Den}_T(0, C) = \text{Den}_T(C)$。研究表明，这些多项式在本质上与紧开集特征函数对应的局部 Whittaker 函数 $W_T(s, \mathbf{1}_C)$ 一致。
3. 计算工具： 为了显式计算这些密度，论文开发了两个技术工具：
   • 积分模型： 一种通过统计相关方案的平滑积分模型的特殊纤维上的点数来计算表示密度的方法。
   • 约简公式： 一个 Fubini 式的约简公式，它将块对角矩阵的表示密度表示为其对角块密度的函数，从而实现递归计算。
4. 低维情况下的验证： 作者在维度 $n=2$ 的特定情况下验证了该猜想。这包括：
   • 利用 Hecke 对应作用于 Kudla-Rapoport 循环来显式计算几何侧的算术交点数。
   • 利用新开发的密度多项式以及 Bruhat-Tits 树上的格路径组合计数，显式计算解析侧的 Whittaker 函数的导数。

主要贡献与结果

• 猜想性公式化： 本文提出了 Conjecture 5.3.3，即算术 Siegel-Weil 公式的推广。它假设对于具有非奇异矩矩阵 $T$ 和 Hecke 函数 $f_1, \dots, f_r$ 的元组 $x$，Hecke 作用下的循环的导出交集的 Euler-Poincaré 特征数等于涉及 Hecke 作用于 Schwartz 函数的相应 Whittaker 函数的归一化中心导数：
  $$\chi(f_1 Z^L(x_1) \otimes_L \dots \otimes_L f_r Z^L(x_r)) \stackrel{?}{=} \frac{W'_T(0, f_1 \mathbf{1}_{\Xi}^{d_1} \otimes \dots \otimes f_r \mathbf{1}_{\Xi}^{d_r})}{c(n) \log(q^2)}$$
• 定理 A（$n=2$ 时的验证）： 作者证明了该猜想在 $n=2$ 的情形下成立。具体而言，对于任何 Hecke 函数 $f_1, f_2 \in H(V)$ 以及具有特定范数条件的基 $x_1, x_2$，等式成立：
  $$\chi(f_1 Z^L(x_1) \otimes_L f_2 Z^L(x_2)) = \frac{W'_T(0, f_1 \mathbf{1}_{\Xi} \otimes f_2 \mathbf{1}_{\Xi})}{c(2) \log(q^2)}$$
  其证明涉及两边的直接计算。几何侧可以约化为已知的 Kudla-Rapoport 循环及其 Hecke 变换的公式，而解析侧则需要利用新开发的广义表示密度理论。
• 广义表示密度理论： 本文为任意紧开集（而非仅仅是格）的表示密度提供了系统的理论开发。这包括构造密度多项式，以及推导涉及处于相对位置的自对偶格的 $2 \times 2$ 矩阵的显式公式。

意义

本文声称其意义主要体现在两个领域：

1. 推进算术 Siegel-Weil 计划： 它将算术 Siegel-Weil 公式的范围扩展到了包含球面 Hecke 代数的动作，这与针对球面 Hecke 代数的算术基本引理相一致。这是在存在 Hecke 算子的情形下，将其应用于酉 Shimura 簇的 Beilinson-Bloch 猜想的必要步骤。
2. 广义密度的独立价值： 作者明确指出，对经典表示密度理论的推广预计具有独立的学术价值。所开发的计算任意紧开集及其相关密度多项式的工具，为处理 Whittaker 函数（当其为标准函数之线性组合时）提供了一个框架，而这种情况在引入 Hecke 作用时会自然出现。

这项工作被呈现为对一个更广泛猜想（$n=2$）的非平凡特例的验证，其显式计算过程为所提公式的普遍有效性提供了证据。