Measuring correlations using local and nonlocal quenches

技术摘要：利用局部与非局部猝灭测量相关性

问题陈述
量子多体系统的表征需要对相关函数进行测量，包括高阶和非高斯相关函数。虽然实验上的进展已使得测量各种相关函数成为可能，但如何从量子场系统的动力学中提取一类广泛的函数（特别是非高斯函数）的特定理论程序仍然是一个开放性的挑战。现有的方法（如局部猝灭谱学）主要侧重于动态特性或能谱，而非重建初始态的相关结构。本文旨在探讨：通过观察特定类型的短期扰动（量子猝灭）后观测量的随时间演化，可以检索出初始量子态的哪些相关函数。

方法论
作者提出了一个基于量子猝灭的理论框架，猝灭被定义为作用于极短时间的扰动，由哈密顿量 $\hat{H}_{\text{int}}(t) = \delta(t - t_Q)\hat{V}$ 建模。该扰动瞬时将系统的密度矩阵 $\hat{\rho}$ 转换为 $\hat{\rho}_Q = \hat{Q}\hat{\rho}\hat{Q}^\dagger$，其中 $\hat{Q} = e^{-i\hat{V}/\hbar}$。

核心方法论依赖于对平均场 $\langle \hat{\phi}(t, \vec{x}) \rangle_Q$ 后猝灭演化的观测，该演化取决于猝灭发生后立即的场及其共轭动量的期望值。这些后猝灭值反过来是由扰动算符 $\hat{V}$ 与场算符的对易子决定的，而这些对易子编码了初始态 $\hat{\rho}$ 的相关函数。

论文分析了两种截然不同的扰动类型：

1. 局部猝灭： 扰动算符在空间上局限于单个点 $\vec{x}_Q$ 附近，形式为 $\hat{V} = \lambda \hat{\phi}_S^n(\vec{x}_Q)$，其中 $\hat{\phi}_S$ 是平滑后的场算符，以避免紫外发散。
2. 非局部猝末： 扰动算符涉及位于不同空间点的场算符乘积，形式为 $\hat{V} = \lambda \hat{\phi}_S(\vec{x}_{Q,1}) \dots \hat{\phi}_S(\vec{x}_{Q,n})$。

平均场的演化使用自由理论的迟滞格林函数 $G_R(t, \vec{x})$ 进行计算。作者推导了在维度 $d=1, 2, 3$ 下，有质量（$M \neq 0$）和无质量（$M = 0$）标量场理论中平滑迟滞格林函数 $G_R^S$ 的渐近行为。

主要贡献与结果

• 相关性测量的通用算法： 论文确立了通过施加具有特定算符阶数 $n$ 的猝灭并测量随后在猝灭位置处的平均场演化，可以隔离并计算初始态的 $n$ 点相关函数。具体而言，对于局部猝灭 $\hat{V} \propto \hat{\phi}^n$，平均场的偏差与 $(n-1)$ 点相关函数 $\langle \hat{\phi}^{n-1} \rangle$ 成正比。
• 局部猝灭的局限性与能力：
  • 局部猝灭允许顺序测量形式为 $\langle \hat{\phi}_S^\alpha(\vec{x}_Q) \rangle$ 的相关函数。
  • 作者推导了信号的渐近行为。在有质量理论（$d=1$）中，信号随振荡且振幅衰减（$\propto t^{-d/2}$）。在无质量理论（$d=1$）中，信号在长时间内趋于一个非零常数；而在 $d=3$ 中，它表现出指数衰减，这给测量带来了挑战。
  • 扰动的“光锥”被证明取决于平滑尺度 $\epsilon$；当 $\epsilon \ll M^{-1}$ 时，扰动以光速传播；当 $\epsilon \gg M^{-1}$ 时，前沿传播速度较慢。
• 非局部猝灭方案：
  • 为了克服局部猝灭的空间限制（即仅能访问单个点处的场），作者提出了非局部猝灭。
  • 通过施加涉及不同点 $\vec{x}_{Q,1}, \dots, \vec{x}_{Q,n}$ 场的扰动，在其他点产生的光锥相交之前的特定时间窗口内，特定点 $\vec{x}_{Q,j}$ 处的平均场演化将正比于其余 $n-1$ 个点的相关函数。
  • 这使得测量空间上分离的场之间的相关性 $\langle \hat{\phi}_S(\vec{x}_{Q,1}) \dots \hat{\phi}_S(\vec{x}_{Q,n}) \rangle$ 成为可能。
• 高斯态的解析解： 作为具体的演示，作者将该方法应用于自由有质量和无质量标量场的基态。由于基态是高斯的，高阶相关性由维克定理（Wick's theorem）决定。论文提供了平均场演化的精确解析公式，证实了该方法成功检索了已知的 2 点相关函数。

意义与主张
论文声称为测量量子场系统中的相关函数提供了一种新的理论程序，为研究初始态中的非高斯相关性提供了途径。其重要性在于能够：

1. 通过改变局部猝灭算符的阶数，系统地获取高阶相关函数。
2. 利用非局部猝灭获取空间分离的相关性，这是标准局部扰动所不具备的能力。
3. 区分系统的动力学性质与初始态的静态相关性。

作者明确指出，目前的程序适用于非相互作用理论。他们指出，在相互作用理论中，平均场的演化将依赖于超出初始态相关性之外的高阶平均值，因此需要更先进的非平衡量子场论技术（如 Keldysh 图解法）来扩展该方法。论文最后建议，只要在未来的工作中针对相互作用场景进行调整，该方法可以为量子态层析成像以及研究多体量子系统中的非高斯相关性领域做出贡献。