Observationanal and Thermodynamic Analysis of Power Law form of $f (Q)$ gravity

技术摘要：幂律 $f(Q)$ 引力的观测与热力学分析

问题陈述
本文探讨了宇宙加速膨胀的问题，这一现象目前要么由奇异暗能量解释，要么通过修正广义相对论（GR）来解释。具体而言，作者研究了幂律形式的 $f(Q)$ 引力，其定义为 $f(Q) = Q + mQ^n$，其中 $Q$ 是非度规标量。虽然之前的研究通过能量条件或恒定的声速对该模型进行了约束，但本研究旨在不预设约束的情况下对该模型进行调查，重点关注两个特定领域：

1. 观测可行性： 通过当前宇宙学数据（哈勃参数、超新星）测试该模型，以确定最佳拟合参数及其解决哈勃张力（Hubble tension）的能力。
2. 热力学一致性： 通过不可逆热力学（Eckart 理论）而非传统的复可热力学视角来分析该模型。本研究旨在建立广义第二定律（GSLT）的有效性以及在这一修正引力框架内的热力学平衡（TE）条件。

研究方法
研究采用了结合统计数据分析与理论热力学推导的双重路径。

• 观测分析：

  • 数据集： 作者使用了三个数据集：来自宇宙计时器（cosmic chronometers）的 31 点哈勃（$H(z)$）数据，以及一个包含 1721 个点的组合数据集，该数据集由 Pantheon+ Ia 型超新星（SNIa）和 SH0ES 数据组成。
  • 统计工具： 使用马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）方法来最大化似然函数并最小化总卡方值（$\chi^2$），以估计哈勃常数（$H_0$）、物质密度（$\Omega_{m0}$）和幂律指数（$n$）的最佳拟合值。
  • 模型比较： 使用赤池信息准则（AIC）和贝叶斯信息准则（BIC）将 $f(Q)$ 模型的性能与标准 $\Lambda$CDM 模型进行比较。

• 热力学分析：

  • 框架： 宇宙被视为一个由视界（apparent horizon）包围的孤立系统。作者应用统一热力学第一定律推导出 $f(Q)$ 引力中的视界熵（$S_A$），其中包括了超出标准贝肯斯坦-霍金面积律的修正项。
  • 不可逆性： 与标准方法不同，本研究引入了 Eckart 一阶不可逆热力学理论。这涉及计算由于热传导产生的熵产生密度（$\sigma$），从而得出依赖于非平衡因子（热导率 $\lambda$）的总熵变化方程（$dS_T/dt$）。
  • 条件： 研究检查了在精质（quintessence）时期和幻影（phantom）时期，广义第二定律（GSLT）（$dS_T/dt \geq 0$）的有效性和热力学平衡（TE）（$d^2S_T/dt^2 < 0$）的条件。

• 宇宙学参数分析：

  • 在观测和热力学分析得出的参数范围内，研究了宇宙学参数（减速参数 $q$、跳跃参数 $j$ 和 snap 参数 $s$）的演化。
  • 采用 $Om(z)$ 诊断法来区分该模型的行为与 $\Lambda$CDM 的差异。

主要贡献与结果

1. 观测约束与哈勃张力：

   • 对哈勃、Pantheon+ 和 SH0ES 数据的组合分析得出，幂律模型的最佳拟合参数为 $H_0 \approx ell 72.67$ km s$^{-1}$ Mpc$^{-1}$，$\Omega_{m0} \approx 0.229$，且 $n \approx 1.26$。
   • 该模型与数据拟合极佳（$\chi^2/dof \approx 1$），且基于 AIC 和 BIC 值在统计上与 $\Lambda$CDM 保持一致。
   • 哈勃张力： 推导出的 $H_0$ 值显著更接近局部 SH0ES 测量值（$74.03 \pm 1.42$），而非 Planck CMB 值（$67.4 \pm 0.5$），这表明该模型部分缓解了哈勃张力。
   • 参数 $n$ 受到严格约束，组合数据集倾向于接近于 1 的值（$n \approx 1.26$）。

2. 热力学有效性：

   • 利用统一定律和 Eckart 理论，作者推导出了 GSLT 和 TE 的显式条件。
   • GSLT： 研究发现，只有当 $n \geq 1$ 时，广义第二定律才成立。
   • 热力学平衡： 研究确定了一个特定的范围 $1 \leq n \leq 2.4$，在该范围内 GSLT 成立（$dS_T/dt \geq 0$），但热力学平衡被破坏（$d^2S_T/dt^2 > 0$）。作者认为这是物理上理想的，因为宇宙中热流的不可逆性质意味着不应维持最大熵状态（TE）。
   • 分析确认，对于观测最佳拟合值（$n \approx 1.26$），热力学要求得到了满足。

3. 宇宙学演化：

   • 在遥远的未来（$z \to -1$），$f(Q)$ 模型收敛于德西特（de Sitter）解（$q = -1$），并变得与 $\Lambda$CDM 不可区分。
   • 然而，在当前纪元和近期过去，两者表现出分歧。在最佳拟合的 $n=1.26$ 时，减速参数 $q_0$ 比 $\Lambda$CDM 高出约 30%，而跳跃参数 $j_0$ 则低了约 60%。
   • Snap 参数（$s$） 被确定为区分两种模型最有前景的观测手段，因为它在整个可观测红移范围内始终明确高于 $\Lambda$CDM 的预测。
   • 转移红移（$z_t$）： 在转移红移方面存在显著差异。虽然 $\Lambda$CDM 预测 $z_t \approx 0.66$，但 $n=1.26$ 的 $f(Q)$ 模型预测了一个早得多的转移时期（$z_t \approx 2.3$）。作者指出，增加 $n$ 虽然能提高与 $\Lambda$CDM 宇宙学参数的一致性，但会进一步增加 $z_t$，从而在宇宙学拟合与转移时机之间造成一种张力。

意义与主张
本文声称为幂律 $f(Q)$ 引力模型建立了观测数据与热力学原理之间的稳健对应关系。其主要意义在于：

• 统一分析： 成功证明了当前观测数据所青睐的参数范围（$n \approx 1.26$）完全落在要求广义第二定律有效（$n \geq 1$）且违反热力学平衡的范围内。
• 不可逆框架： 强调了使用不可逆热力学（Eckart 理论）来正确描述修正引力下宇宙演化的必要性，而不是依赖于可逆假设。
• 缓解哈勃张力： 提出这种特定的 $f(Q)$ 模型是 $\Lambda$CDM 的一种可行替代方案，它能自然地产生较高的哈勃常数，从而缩小局部测量与早期宇宙测量之间的差距。

作者结论较为审慎，承认尽管热力学与观测约束相互一致，但该模型在转移红移方面仍面临挑战。他们建议，未来的工作可能需要对幂律形式进行修正，以解决这一特定差异。