Inequivalent modular tensor categories with identical $S$, $T$ and $W$

技术摘要：具有相同 $S, T, W$ 矩阵但不等价的模张量范畴

问题陈述
本研究探讨的核心问题是：由 $S, T$ 矩阵以及 Whitehead 链矩阵 $W$ 组成的模数据，是否能唯一确定一个模张量范畴（MTC）在 ribbon 等价意义下的类。先前的研究已经证实，仅凭 $(S, T)$ 是不足以进行判定的，其反例源于群 $G = \mathbb{Z}_q \rtimes \mathbb{Z}_p$ 的 Drinfeld 中心。随后的研究引入了作为着色框架定向 Whitehead 链的不变量的归一化 $W$ 矩阵，证明了该矩阵能够区分某些 $(S, T)$ 失效的例子。然而，关于结合后的数据 $(S, T, W)$ 是否足以对 MTC 进行直到 ribbon 等价的完整分类，仍然是一个悬而未决的问题。

方法论与构造
作者利用与有限阿贝尔群 $V = (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^3$（其中 $p \geq 5$ 为素数）相关的 Dijkgraaf–Witten 模范畴构造了一族反例。该构造依赖于 $V$ 上 3-上圈（3-cocycles）的分类。上圈群 $H^3(V, U(1))$ 分解为一个对称部分（二次型）和一个交替部分。

1. 上圈定义： 作者定义了一族由 $u \in (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times$ 参数化的 3-上圈 $\omega_u$：

   • $\kappa$ 是一个由二次上圈不变量导出的归一化 3-上圈，通过使用整数代表和进位函数构造，以确保归一化。
   • $\tau_u$ 是一个通过行列式定义的交替 3-上圈，即 $\tau_u(a, b, c) = \zeta^{\frac{u}{6}\det(a,b,c)}$，其中 $\zeta = e^{2\pi i/p}$。
   • 模范畴被定义为 Dijkgraaf–Witten 范畴 $\text{Vec}_{V}^{\omega_u}$ 的 Drinfeld 中心 $C_u = \mathcal{Z}(\text{Vec}_{V}^{\omega_u})$，并配备了规范的 ribbon 结构。

2. 匹配不变量（部分 A）： 为了证明不同的范畴具有相同的不变量，作者分析了这些范畴对秩至多为 2 的子群 $P \subseteq V$ 的限制。

   • 他们证明了交替因子 $\tau_u$ 在限制到任何维度 $\leq 2$ 的子空间时都会消失（因为三个向量在 2 维空间中的行列式为零）。
   • 因此，限制后的上圈 $\omega_u|_P$ 和 $\omega_v|_P$ 与二次部分 $\kappa|_P$ 一致。
   • 通过建立一个保持通量（fluxes）和射影特征（projective characters）的简单对象之间的双射 $\Lambda_{uv}$，他们表明对于任何至多有两个分量的着色框架定向链，Reshetikhin–Turaev (RT) 不变量在这一双射下是恒等的。
   • 这种相等性可以推广到矩阵 $S, T$ 和 $W$，因为这些矩阵是由 1 分量和 2 分量链的求值导出的。

3. 等价性的障碍（部分 B）： 为了证明这些范畴不是 ribbon 等价的，作者分析了编织等价（braided equivalences）的结构。

   • 任何编织等价 $\Phi: C_u \to C_v$ 都必须保持“电性子范畴”（electric subcategory，即可逆对象的子范畴），该子范畴同构于 $\text{Rep}(V)$。
   • 该等价诱导了底层有理点范畴 $\text{Vec}_{V}^{\omega_u}$ 与 $\text{Vec}_{V}^{\omega_v}$ 之间的单子等价。
   • 利用上圈不变量——特别是二次不变量 $q$ 和交替不变量 $\text{Alt}$——作者推导出了由该等价诱导的自同构 $M \in GL_3(\mathbb{F}_p)$ 的约束条件。
   • 二次不变量强制要求 $\det(M) = \pm 1$，而交替不变量强制要求 $v \det(M) = u$。
   • 这些条件意味着，当且仅当 $u = \pm v$ 时，存在编织等价。因此，对于 $u \neq \pm v$，这些范畴是编织不等价的（从而也是 ribbon 不等价的）。

4. 通过 3-流形不变量进行区分： 作者进一步通过在通过系数为 $+p$ 的 Borromean 链进行手术得到的特定闭定向 3-流形 $M_p$ 上的未着色配分函数来区分这些范畴。

   • 计算涉及对全纯性（holonomies）的有限求和，该求和显式地依赖于交替项 $u \det(a, b, c)$。
   • 生成的配分函数 $Z_u(M_p)$ 能够分离所有的 $(p-1)/2$ 个等价类，除非 $u = \pm v$，否则能区分 $u$ 与 $v$。

主要结果

• 主定理： 对于每个素数 $p \geq 5$，存在一族与 $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^3$ 相关的 Dijkgraaf–Witten 模范畴 $\{C_u\}_{u \in \mathbb{F}_p^\times}$，使得：
  1. 在简单对象的一个双射下，对于任何一对 $C_u, C_v$，矩阵 $S, T, W$（以及所有对于至多 2 个分量的链接的 RT 不变量）都是相同的。
  2. $C_u$ 与 $C_v$ 是编织等价的，当且仅当 $u = \pm v$。
• 推论： 对于 $p=5$，范畴 $C_1$ 和 $C_2$（阶数为 125 的扭曲 Drinfeld 倍）具有相同的 $S, T, W$ 数据，但它们不是 ribbon 等价的。

意义
本文对“$(S, T, W)$ 是否在 ribbon 等价意义下确定一个 MTC”这一问题给出了否定回答。它证明了最多包含两个分量的着色框架链的组合数据不足以区分所有的模张量范畴。该构造凸显了一个特定的机制：固定二次上圈分量（它控制了秩为 2 的限制以及 1 分量和 2 分量链的不变量），同时改变交替分量（该分量对上述探测是不可见的，但可以通过完整的编织结构或 3 分量不变量被检测到）。

该工作得出结论，若要在 ribbon 等价意义下对模张量范畴进行完整分类，需要超越着色框架链（最多两个分量）的不变量。作者提供了一个在特定 3-流形上的显式解析求和形式的未着色配分函数，作为此类区分性的不变量。