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Interacting quantum criticality with U(1) symmetry breaking in 1+1 dimensions

与霍恩伯格-默明-瓦格纳定理相反，本文证明了一维晶格自旋链可以表现出自发 U(1) 对称性破缺以及一个由临界指数 $\nu \approx 0.60$ 和 $z \approx 1.986$ 表征的相互作用量子临界点，揭示了一种不同于无挫折模型的此类破缺机制。

原作者： Mutsumi Shimomura, Kohei Kawabata

发布于 2026-10-06

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CC BY 4.0

原作者： Mutsumi Shimomura, Kohei Kawabata

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在量子世界中，秩序的规则往往比我们在日常经验中所经历的更为严格。几十年来，物理学家一直依赖于被称为霍恩伯格-梅里恩-瓦格纳（Hohenberg-Mermin-Wagner）定理的基本原理，来理解物质在微观尺度下的行为。该定理指出，在一维系统——例如一条无尽的原子线——中，连续对称性在基态下无法被打破。为了直观理解这一点，请想象一排可以自由指向任何方向的指南针。在二维平面或三维块体中，这些指南针可以全部对齐指向北方，从而创建一个稳定的有序态。然而，在单一直线上，持续不断的、剧烈的量子涨落如此强大，以至于这些指南针永远无法稳定在一个统一的方向上。系统保持着无序状态，或者充其量只能在短距离内保持松散的相关性。这种预期长期以来一直是理解量子链的基础，它表明在没有特殊人工约束的情况下，一维空间中真正的长程有序是不可能的。

东京大学的一个研究小组现在挑战了这一长期存在的预期。通过研究特定的量子自旋链模型，他们证明了连续对称性确实可以在一维基态中被打破，但前提是必须满足涉及复杂相互作用的特定条件。他们的工作揭示了一种新型的量子临界点——一个物质发生根本性质变化的精确转折点——其行为方式与物理学家多年来使用的标准理论截然不同。他们发现，当自旋之间的相互作用被调节到恰到好处时，系统会自发地产生一个偏好方向，从而克服了维持无序状态的常规量子涨，。这项发现具有重要意义，因为它表明在一维空间中允许秩序产生的机制比此前认为的更为多样化，超越了简单的无挫折模型，涵盖了更复杂的相互作用场景。

研究人员专注于两种不同类型的量子链：一种由自旋-1粒子组成，另一种由自旋-1/2粒子组成。在这些系统中，“自旋”就像是可以在各种方向上指向的小磁铁。该团队利用强大的计算机模拟，具体而言是一种称为密度矩阵重整化群（density-matrix renormalization group）的方法，来模拟这些链在调整粒子间相互作用强度时的行为。他们正在寻找一个临界点，在该点处系统从无序态向长程有序态转变。为了定位这个点，他们采用了子系统标度（subsystem scaling）技术，该技术通过分析链的一个小部分在总链尺寸增长时其涨落的行为，来确定转折发生的精确时刻，并确定了自旋-1链的大约为 -0.826 的临界耦合值。

一旦找到了这个临界点，团队便测量了系统对尺寸和能量变化的响应。他们计算了一个被称为相关长度临界指数的关键数值，该数值描述了链中远处部分之间的相关性衰减有多快。他们的测量结果得出了 0.60 的值，这明显不同于旧有的、更简单的理论所预测的 0.5。这种差异至关重要，因为它证明了这种临界行为并非仅仅是一种标准的、自由流动的现象，而是由粒子间的强相互作用驱动的。此外，他们还确定了动力学临界指数，这是一个描述能量和时间在系统中如何共同缩放的数值。他们发现该值约为 1.986。这个略小于 2 的数值是一个具有深远意义的微小偏差。

这个特定的动力学指数数值就像是正在发生的物理过程的一种“指纹”。研究人员表明，小于 2 的数值与被称为“无挫折系统”（frustration-free systems）的模型类别不相容，这些模型通常因其数学上的简洁性而被用于构建量子态。无挫折模型要求该指数至少为 2。通过找到一个低于此阈值的数值，团队有效地排除了观察到的对称性破缺是由这些较简单的无挫折机制导致的可能性。相反，他们的结果指向了一种更复杂的、相互作用的理论，其中粒子以无法被简化的方式相互影响。这证实了其一维链中的自发对称性破缺源于一种独特的、相互作用的量子临界性。

为了确保研究结果的稳健性，研究人员在另一种不同类型的链——自旋-1/2模型上重复了整个分析过程，该模型具有不同的微观结构。尽管粒子类型和具体的相互作用有所不同，他们却发现了相同的临界行为。第二个模型的相关长度指数为 0.61，与第一个模型一致，且系统同样显示出明显的自发对称性破缺迹象。这两个不同微观设置之间的一致性表明，它们都属于同一种行为的普适类，受相同的底层物理规律支配。这证明了这种现象并非特定模型的偶然现象，而是相互作用量子系统在一维空间中的普遍特征。

这项工作的意义不仅限于这些特定的链。研究人员将他们的结果与使用摄动重整化群方法（一种用于近似复杂系统行为的数学工具）得出的理论预测进行了对比。他们的数值发现与这些理论预测高度吻ло合，为所提出的相互作用场论能够正确描述晶格模型提供了有力证据。他们还注意到，虽然其结果与之前的一些理论估计相符，但与近期一些暗示了不同临界指数值的研究存在差异。这种差异凸显了直接数值验证的重要性，因为理论近似有时会忽略那些只有在对系统进行完整的、非摄动处理时才会显现的微妙效应。

最终，这项研究提供了一个具体的案例，展示了连续对称性如何在的一维量子基态中被打破，而这在以前被认为是受到标准定理禁止的行为。研究人员表明，通过在哈密顿量（系统的能量数学描述）中引入特定的相互作用项，是可以稳定有序态以对抗破坏性的量子涨落的。这种稳定性的关键在于存在一个相互作用的临界点，在该点处空间和时间的缩放是各向异性的，即它们并不以相同的方式缩放。这一发现扩展了我们对量子相变的理解，并表明在低维系统中，存在多种产生秩序的路径，而不仅仅是我们几十年来所熟知的那些路径。

这项工作也提醒我们，即使是在像单原子线这样受限最严苛的环境中，自然界也能找到令人惊讶的自我组织方式。通过仔细调节相互作用，研究人员能够引导系统进入一个量子噪声被驯服到足以让全局方向显现的状态。这并不意味着霍恩伯格-梅里恩-瓦格纳定理是错误的；相反，它明确了该定理的应用边界。该定理对于具有足够短程相互作用和特定假设的系统是成立的，但正如本研究所示，在更复杂的相互作用场景下，这些假设是可以被绕过的。其结果呈现了一幅更丰富、更细致的量子物质图景，其中对称性、维度和相互作用之间的相互作用创造了一个比以往想象中更为广阔的可能性领域。

在凝聚态物理的更广泛背景下，这些发现为理解量子临界性提供了新的基准。测得的精确临界指数为未来的理论工作和实验实现提供了目标。如果能在物理材料或工程化的量子模拟器中观察到类似行为，将验证这种相互作用普适类在现实世界中的存在。目前，这项研究作为一个严谨的证明，表明量子秩序的规则并不像曾经认为的那样僵化，它为我们思考物质如何在最基本层面上组织自身开辟了新的思路。未来的研究方向包括探索其他类型的相互作用是否能产生类似的效果，以及这些相互作用临界点如何影响更高维度的材料属性。

技术摘要：一维空间中与 U(1) 对称性破缺相互作用的量子临界性

问题陈述
霍恩贝格-门明-瓦格纳（Hohenberg-Mermin-Wagner）定理通常排除了一维量子基态中连续对称性的自发破缺，这表明涨落会破坏长程有序。虽然在无挫折系统（例如铁磁海森堡链，其中序参数与哈密顿量对易）中存在例外，但在更一般的相互作用一维系统中，连续对称性破缺的机制仍不明确。具体而言，Nahum [23] 针对一个相互作用量子临界点提出了一个场论方案，在该点处，U(1) 自旋旋转对称性在 1+1 维中发生自发破缺。该方案涉及一个使高斯固定点失稳的相关四次相互作用，从而导致非高斯临界指数和动力学指数 $z < 2$ 。然而，对于该理论在 $d=1$ 时的微扰重整化群（RG）计算是不可控的，且缺乏对其微观实现及其普适属性的严格数值验证。

研究方法
作者利用数值技术（主要是密度矩阵重整化群 DMRG 和变分均匀矩阵乘积态 VUMPS 算法）研究了两个微观晶格模型：

Spin-1 链： 由 Nahum [23] 提出的模型，其哈密顿量为 $H_1 = -J \sum S_i \cdot S_{i+1} + g_1 \sum (S^z_i)^2 + g_2 \sum (S^z_i)^2(S^z_{i+1})^2$ 。
Spin-1/2 链： 一个具有四位纵向相互作用的模型， $H_{1/2} = -J \sum S_i \cdot S_{i+1} + g_1 \sum S^z_i S^z_{i+1} + g_4 \sum S^z_i S^z_{i+1} S^z_{i+2} S^z_{i+3}$ 。
为了在不依赖于全局守恒序参量（该序参量在对称扇区中将消失）的情况下定位临界点并确定指数，作者采用了子系统 Binder 标度法。他们通过分析半链块内的纵向磁化强度涨落（ $M_{z,\text{half}}$ ）来定义 Binder 比率 $R_{\text{half}}$ 。

临界耦合与 $\nu$ ： 利用不同系统尺寸 $L$ 的 $R_{\text{half}}$ 交叉点来定位临界耦合 $g_{1c}$ 。通过这些交叉点的有限尺寸标度分析得出相关长度临界指数 $\nu$ 。
对称性破缺： 通过计算 $M_z=0$ 扇区内的横向磁化强度平方密度 $m^2_\perp$ 来验证自发 U(1) 对称性破缺。作者利用有限尺寸标度（外推 $L \to \infty$ ）和有限纠缠标度（通过 VUMPS 外推键维 $\chi \to \infty$ ）来确认其具有非零的热力学极限。
动力学指数 $z$ ： 计算各种 $L$ 下的最低中性激发能隙 $\Delta_1$ 。使用标度关系 $\Delta_1 \propto L^{-z}$ 来提取动力学临界指数。
标度维数： 分析纵向自旋相关性以检查其与由 $z$ 推导出的标度维数 $\Delta_\psi$ 的一致性。

主要贡献与结果

相互作用临界性的数值证据：
本研究为 Nahum 提出的相互作用量子临界点提供了直接的数值证据。对于 Spin-1 链，相关长度指数确定为 $\nu = 0.60 \pm 0.02$ 。该值不同于高斯固定点的值 ( $\nu_G = 0.5$ )，但与微扰 RG 预测 ( $\nu \approx 0.6258$ 在 $O(\epsilon^2)$ 阶) 一致。
自发 U(1) 对称性破缺：
与连续对称性在一维中保持不变的预期相反，作者证明了在临界点处 U(1) 自旋旋转对称性的自发破缺。横向磁化强度平方密度在外推至热力学极限时趋于一个有限的正值：
- Spin-1: $m^2_\perp \approx 0.947 \pm 0.003$ 。
- Spin-1/2: $m^2_\perp \approx 0.212 \pm 0.003$ 。
  这证实了临界态在横向方向支持长程有序。
动力学临界指数 $z < 2$ ：
动力学临界指数确定为 $z = 1.986 \pm 0.005$ 。这代表了相对于高斯值 $z_G = 2$ 的一个虽小但具有统计显著性的偏差，并且与微扰预测 $z \approx 1.992$ 一致。
普适性与模型无关性：
作者构建了一个具有四位相互作用的 Spin-1/2 链，并展示了它如何流向与 Spin-1 模型相同的普适类。对于 Spin-1/2 链，估计的临界指数 $\nu = 0.61 \pm 0.02$ 与 Spin-1 结果一致，这表明尽管局部希尔伯特空间和微观各向异性不同，但它们具有共同的相互作用普适类。
标度维数的一致性：
利用关系式 $\Delta_\psi = (3-z)/2$ ，估计的 $z$ 意味着标度维数 $\Delta_\psi \approx 0.507$ 。通过有限纠缠标度分析纵向相关性表明，该值比高斯值 $\Delta_\psi = 0.5$ 能提供更好的数据塌缩，尽管由于有限键维度的限制，其精度受到一定限制。

意义与影响
本文的研究结果声称，这些结果建立了一种在 1D 量子基态中实现连续对称性破缺的机制，这种机制有别于无挫折构造。

对无挫折实现的阻碍： 无挫折哈密顿量的严格界限要求 $z \geq 2$ 。观察到的 $z \approx 1.986 < 2$ 意味着这些模型所实现的临界理论不能由无挫折哈密顿量来描述。这使目前的相互作用转变区别于此前已知的 1D 对称性破缺案例。
场论验证： 数值结果验证了场论中所提议的相互作用固定点的存在，确认了相关的四次相互作用即使在 $d=1$ 时也会使高斯固定点失稳。
普适类： Spin-1 与 Spin-1/2 模型之间的一致性，以及与微扰 RG 及相关非平衡系统（Lifshitz 类理论）经典蒙特卡洛模拟的一致性，共同支持了该理论被识别为一个特征为非高斯指数和各向异性标度（ $z \neq 2$ ）的鲁棒普适类的结论。

作者得出结论，一维中的连续对称性破缺并不局限于无挫折构造，这揭示了规避霍恩贝格-门明-瓦格纳定理的多种多样机制。

技术摘要：一维空间中与 U(1) 对称性破缺相互作用的量子临界性

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