Microwave spectroscopic evidence of a moiré-commensurate electron crystal in monolayer graphene

技术摘要：单层石墨烯中莫尔共格电子晶体的微波光谱证据

问题与动机
在强磁场下的部分填充朗道能级中，动能（被磁场淬灭）与库仑相互作用之间的竞争创造了一个能量几近相等的区域，其中电子液体（分数量子霍尔流体）与电子固体（维格纳晶体）并存。虽然分数量子霍尔（FQH）态通常在半填充附近占主导地位，而维格纳晶体在边缘附近占主导地位，但微小的扰动可以改变这种平衡。由单层石墨烯与六方氮化硼（hBN）对齐形成的莫尔超晶格，正是这样一种扰动。DaSilva、Jung 和 MacDonald 的理论工作预测，莫尔晶格的周期性势场通过允许固体将其密度锁定到超晶格上，从而在第一阶降低了能量，而流体仅在第二阶产生响应。这应当会在特定的共格填充（每个莫尔单元内电子数的简单有理数）处稳定钉扎电子晶体，而在这些填充处，未调制的系统本应形成流体。然而，尽管基于电荷的检测（如实空间成像、量子化输运）已经识别出了这些状态，但其动力学响应——特别是这些固体在施加驱动下如何耗散能量——在范德华器件中仍未得到解决。微波光谱技术作为 GaAs 系统中钉扎电子固体的标准探测手段，尚未应用于这些莫尔对齐的石墨烯器件，以解析其耗散响应和潜在的钉扎模式共振。

方法论
作者研究了一个封装在 hBN 中且经过晶体学对齐（$\theta \approx 0^\circ$）的单层石墨烯器件，该器件形成了周期 $\lambda \approx 14.7$ nm 的三角形莫尔超晶格。器件被放置在金共面波导（CPW）的槽口中，并通过石墨背栅进行门控。测量在毫开尔文温度（$\sim 50$ mK）以及 15.4 至 18 T 的磁场范围内进行，使系统处于深层霍夫施塔特（Hofstadter）机制中（$\phi/\phi_0 \approx 0.69\text{--}0.81$）。

主要观测量是 0.5 至 9 GHz 的宽带微波传输系数 $S_{21}(f)$。为了从占主导地位的霍尔（横向）导纳中分离出纵向电导率（$\sigma_{xx}$），作者构建了一个带差函数：
$$D(\nu) = \langle P_n \rangle_{\text{low}} - \langle P_n \rangle_{\text{high}}$$
其中 $P_n$ 是归一化的传输功率，低频带和高频带分别覆盖 0.5–1 GHz 和 7–9 GHz。由于霍尔响应在这些频带内是频率无关的，因此在差分运算中会被抵消，从而留下频率相关的纵向耗散。填充因子 $\nu$ 通过门电压控制，并利用 $\nu = \pm 1$ 态和二次狄拉克间距来确定莫尔单元面积及每个单元的磁通量。

关键结果

1. 受无序展宽的穹顶结构： 在最低朗道能级的纵向响应 $D(\nu)$ 在电性中性和空穴侧均形成了一个宽阔的“穹顶”。该穹顶的宽度对应于 $\delta n \approx 1.3 \times 10^{10} \text{ cm}^{-2}$ 的场无关密度不均匀性，该值小于零场输运无序宽度，但与能级中心的去定域态一致。
2. 莫尔共格极小值： 在平滑的穹顶之上，叠加了耗散受到抑制的局部极小值。这些极小值在两种载流子类型上的每个磁场处都会重复出现。至关重要的是，它们在填充因子 $\nu$ 中的位置并不固定（这与 FQH 或 Jain 态的预期不同），也不遵循整数霍夫施塔特能隙的陡峭轨迹。相反，它们沿着固定每单元密度的线（$\nu_P = \text{constant}$）随磁场漂移。
3. $s=1/3$ 晶体的识别： 最显著的极小值追踪了对应于能带填充指数 $s = 1/3$（每三个莫尔单元一个载流子）的线，该线由 Diophantine 关系 $\nu_P = t(\phi/\phi_0) + s$ 描述，其中霍尔指数 $t=0$。该状态对应于一个具有 $\sqrt{3} \times \sqrt{3}$ 超结构的广义维格纳晶体。在其他共格分数（例如 $s=1/4, 2/5$）附近也观察到了较弱的极小值，遵循预测的共格能量层级。
4. 缺乏钉扎模式共振： 尽管有证据表明存在钉扎固体，但在 0.5–9 GHz 带内并未观察到尖锐的钉扎模式共振。任何共振过剩量都被限制在 $\approx 25$ mdB 以下，这表明该模式位于测量频带之外、低于测量分辨率极限，或被驱动功率严重阻尼。
5. 排除竞争态： 极小值沿固定密度线的漂移排除了分数量子霍尔态（其位于固定 $\nu$ 处）和复合费米子液体（其会显示出依赖于填充因子的弛豫频率）。特征的量级及其特定的追踪规则排除了整数霍夫施塔特能隙。$t=0$ 的特性排除了拓扑序，使得共格晶体成为唯一一致的解释。

意义与主张
本文声称提供了在机械剥离的范德华器件中发现莫尔共格电子晶体的首次微波光谱证据。作者识别出了一个在 $s=1/3$（每三个莫尔单元一个电子）处稳固的钉扎电子晶体，该晶体由莫尔势能稳定，符合 DaSilva、Jung 和 MacDonald 的理论预测。该研究表明，在分数量子霍尔效应本应形成流体的中间填充区域，莫尔势能将能量平衡向固体态倾斜。

作者对其结论持谨慎态度，将其描述为一种“边缘性的、共格相关的钉扎固体”，而非无缺陷晶体，并指出相互作用能仅比无序能高出 2–3 倍。虽然数据强烈支持晶体解释而非无序钉扎玻璃（由于特定的共格层级和填充选择性），但由于缺乏解析出的钉扎模式共振，钉扎固体的确切特征并未在当前频率范围内被完全捕捉。这项工作证明了微波耗散是识别莫尔系统中共格态的一种可行探测手段，能够通过其独特的场依赖漂移将共格态与量子霍尔态及霍夫施塔特态区分开来。